Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 16 mmTembaga0,5 mP = 90 kN

Cari pertambahan panjang δ batang tembaga akibat beban aksial.

P = 90 kNd = 16 mmL = 0,5 mE = 117 GPa
δ = mm
2.Tegangan & regangan aksialSulit
P = ?Ø40110 GPaØ120/70800 mm

Sebuah batang baja (diameter 40 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 150 MPa) berada di dalam tabung dari perunggu (diameter luar 120 mm, diameter dalam 70 mm, E = 110 GPa, tegangan izin 50 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar Pmax.

batang: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 150 MPatabung: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
3.Torsi porosSedang
T = 750 N·md = 30 mmL = 0,8 mφ = ?

Poros pejal kuningan dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 750 N·md = 30 mmL = 0,8 mG = 39 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
Tdo​ = 75 mm, di​ = 60 mm

Poros berongga meneruskan 75 kW pada 3000 rpm. Cari tegangan geser maksimum τmax pada poros.

P = 75 kWN = 3000 rpmdo = 75 mmdi = 60 mm
τmax = MPa
5.Gaya geser & momen lenturSedang
w = 5 kN/mABpotongan5 m1 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 6 mw = 5 kN/m dari 0 sampai 6 mx = 5 m
Mx = kN·m
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 20 kN/mAB2 m2 m1 m

Balok sederhana menahan beban merata pada sebagian bentangnya. Cari jarak x0 dari A ke potongan tempat momen lentur paling besar.

L = 5 mw = 20 kN/m dari 2 sampai 4 m
x0 = m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
200 mm200 mm60 mmØ40xIx​ = ?

Sebuah pelat 200 mm × 200 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 40 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 60 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 200 mmh = 200 mmd = 40 mmpusat lubang: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
1203026016xM = 30 kN·mdimensi dalam mm

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 30 kN·m. Cari besar tegangan lentur σatas di tepi atas.

bf = 120 mmtf = 30 mmtw = 16 mmhw = 260 mmM = 30 kN·m
σatas = MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 100σy​ = 30MPaτxy​ = ?

Suatu titik memiliki σₓ = 100 MPa dan σᵧ = 30 MPa. Seberapa besar tegangan geser τxy (besarnya) dapat meningkat sebelum tegangan utama terbesar mencapai 150 MPa?

σx = 100 MPaσy = 30 MPaσ1 = 150 MPa
τxy = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​τxy​permukaan atas poros

Poros pejal berdiameter 30 mm menahan momen lentur sebesar 100 N·m bersama torsi 400 N·m. Di permukaan atas, tempat tegangan lentur bersifat tarik dan paling besar, cari tegangan geser sebidang maksimum τmax.

d = 30 mmM = 100 N·mT = 400 N·m
τmax = MPa
11.Lendutan balokSedang
P = 6 kNABδ2 m1 m

Kantilever sepanjang L dijepit di A dan menahan beban terpusat P pada jarak a = 2 m dari A. Cari lendutan δB di ujung bebas B.

P = 6 kNa = 2 mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 8 kN/mP = 21 kNδL = 6 m

Balok sederhana menahan beban merata w dan beban terpusat P di tengah bentang. Dengan superposisi, cari lendutan tengah δmax.

P = 21 kNw = 8 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (baja)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Tekuk kolomSedang
PL = 2,5 md = 40 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)d = 40 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
P = 105 kNL = 6 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Kolom harus menahan 105 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 105 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (baja)
d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 1,913 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 90·1000/201,1 = 447,6 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for tembaga = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 447,6/117000 = 0,003826 = 3826 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,003826·500 mm = 1,913 mm

Jawaban

δ = 1,913 mm
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: Pmax = 487,3 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·7461 = 1,072 × 10⁹ N

Regangan penentu

ε = min(0,00075, 0,0004545) = 0,0004545 (perunggu)

Beban terbesar

Pmax = 0,0004545·1,072 × 10⁹ = 487304 N = 487,3 kN

Jawaban

Pmax = 487,3 kN
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 11,08 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 750·1000·800/(39000·79522) = 0,1935 rad
φ = 0,1935·180/π = 11,08°

Jawaban

φ = 11,08°
4.Torsi poros

Jawaban: τmax = 4,881 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s
T = P/ω = 75000/314,2 = 238,7 N·m

Momen inersia polar

J = π(75⁴ − 60⁴)/32 = 1,834 × 10⁶ mm⁴

Tegangan geser maksimum

τmax = T·(do/2)/J = 238732·37,5/1,834 × 10⁶ = 4,881 MPa

Jawaban

τmax = 4,881 MPa
5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 12,5 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, bekerja di x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 5·6·3
RB = 90/6 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 15 = 15 kN
w = 5 kN/mABRA​ = 15RB​ = 15potongan5 m1 m

Potong di x = 5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 15·5 − 5·5·2,5 = 12,5 kN·m

Jawaban

Mx = 12,5 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: x0 = 2,8 m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 20·2 = 40 kN, bekerja di x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·5 = 20·2·3
RB = 120/5 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 24 = 16 kN

Gaya geser nol

Gaya geser mulai dari RA, tetap konstan di bagian yang tidak dibebani, dan turun dengan kemiringan w di dalam beban.

RA − w·(x0 − 2) = 0
x0 = 2 + 16/20 = 2,8 m

Jawaban

x0 = 2,8 m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 131,1 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (40000·100 − 1257·60)/(40000 − 1257) = 101,3 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

200·200³/12 + 40000·−1,297² = 133,4 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−41,3² = 2,269 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 131,1 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 131,1 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σatas = 43,28 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 120·30 = 3600 mm², yf = 260 + 30/2 = 275 mm
badan: Aw = 16·260 = 4160 mm², yw = 260/2 = 130 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3600·275 + 4160·130)/7760 = 197,3 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 120·30³/12 + 3600·(275 − 197,3)² = 2,202 × 10⁷ mm⁴
badan: 16·260³/12 + 4160·(130 − 197,3)² = 4,226 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2,202 × 10⁷ + 4,226 × 10⁷ = 6,428 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi atas berjarak h − ȳ dari sumbu.

y = 290 − 197,3 = 92,73 mm
σ = M·y/I = 3 × 10⁷·92,73/6,428 × 10⁷ = 43,28 MPa

Jawaban

σatas = 43,28 MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τxy = 77,46 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari yang diperlukan

C = (100 + 30)/2 = 65 MPa
R = σ1 − C = 150 − 65 = 85 MPa
στxyCσ1​σ2​

Tegangan geser

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(85² − 35²) = 77,46 MPa

Jawaban

τxy = 77,46 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τmax = 77,77 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Tegangan di permukaan

σ = 32M/(πd³) = 32·100000/(π·30³) = 37,73 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·30³) = 75,45 MPa
στxyCτmax​

Lingkaran Mohr

C = σ/2 = 18,86 MPa
R = √(18,86² + 75,45²) = 77,77 MPa

Jawaban

τmax = 77,77 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δB = 11,11 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 6000 N, a = 2000 mm, L = 3000 mm
EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Lendutan di ujung bebas

Lendutan di titik beban ditambah kemiringan di titik beban dikali sisa panjang.

δP = Pa³/(3EI) = 6,349 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,004762 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 11,11 mm

Jawaban

δB = 11,11 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 31,88 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 21000 N, w = 8 N/mm, L = 6000 mm, EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Setiap beban sendiri

δP = PL³/(48EI) = 21000·6000³/(48·7,2 × 10¹²) = 13,13 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·6000⁴/(384·7,2 × 10¹²) = 18,75 mm

Jumlahkan

δmax = 13,13 + 18,75 = 31,88 mm

Jawaban

δmax = 31,88 mm
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 9,922 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·2500 = 5000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/5000² = 9922 N = 9,922 kN

Jawaban

Pcr = 9,922 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 73,55 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 3·105000 = 315000 N
KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·315000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 73,55 mm

Jawaban

d = 73,55 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 163,2, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials