Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 25 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari aluminium (diameter 30 mm, panjang 400 mm, E = 70 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,25 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø30 mm, 400 mm, E = 70 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah batang baja (diameter 25 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 250 MPa) berada di dalam tabung dari aluminium (diameter luar 120 mm, diameter dalam 60 mm, E = 70 GPa, tegangan izin 80 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar P_max.

batang: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPatabung: Ø120/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

3.Torsi porosSedang

Poros aluminium pejal sepanjang 1,2 m menahan torsi 250 N·m. Sudut puntir antara kedua ujungnya tidak boleh melebihi 0,5°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi batas ini.

T = 250 N·mL = 1,2 mG = 26 GPaφ_allow = 0,5°

d = mm

4.Torsi porosSulit

Poros pejal harus meneruskan 100 kW pada 300 rpm tanpa tegangan geser melebihi 40 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 100 kWN = 300 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

55 kN @ 6 m4 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang dan beban terpusat P. Cari momen lentur maksimum M_max pada balok.

L = 10 mP = 80 kN di 4 mw = 5 kN/m dari 0 sampai 10 m

M_max = kN·m

7.Titik berat & momen inersiaSedang

Profil kanal diletakkan dengan sisi terbuka ke atas: pelat dasar selebar 160 mm dengan dua kaki tegak, setinggi total 130 mm. Dasar dan kaki semuanya setebal 18 mm. Cari tinggi ȳ titik berat di atas tepi bawah.

b = 160 mmh = 130 mmt = 18 mm

ȳ = mm

8.Titik berat & momen inersiaSulit

Balok besi tuang memiliki penampang T seperti pada gambar, dengan sayap di atas. Tegangan izinnya 40 MPa untuk tarik dan 120 MPa untuk tekan. Cari momen lentur negatif terbesar M_allow yang dapat ditahan balok (nyatakan besarnya).

b_f = 120 mmt_f = 20 mmt_w = 16 mmh_w = 200 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 160 MPa, σᵧ = 20 MPa, dan τₓᵧ = 20 MPa, dengan σ_z = 0. Cari tegangan geser maksimum absolut τ_abs di titik itu (dengan meninjau semua bidang dalam tiga dimensi).

σ_x = 160 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Tangki silinder berdinding tipis dengan diameter dalam 500 mm dan tebal dinding 10 mm berisi gas bertekanan gauge 1,2 MPa. Tangki dibuat dari pelat yang dilas sepanjang kampuh heliks bersudut 40° terhadap sumbu silinder. Cari tegangan normal σ_n yang bekerja tegak lurus kampuh las.

D = 500 mmt = 10 mmp = 1,2 MPaα = 40°

σ_n = MPa

11.Lendutan balokSedang

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari lendutan maksimum δ_max di tengah bentang.

w = 10 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil I_req yang memenuhi batas ini.

w = 5 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (kayu struktural)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (baja)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

14.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Kolom harus menahan 100 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 100 kNn = 2,5L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 17,61 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·490,9) = 6,112 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(70000·706,9) = 8,084 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,25/1,42 × 10⁻⁵ = 17611 N = 17,61 kN

Jawaban

P = 17,61 kN

2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P_max = 790,8 kN

Luas

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·490,9 + 70·10³·8482 = 6,919 × 10⁸ N

Regangan penentu

ε = min(0,00125, 0,001143) = 0,001143 (aluminium)

Beban terbesar

P_max = 0,001143·6,919 × 10⁸ = 790784 N = 790,8 kN

Jawaban

P_max = 790,8 kN

3.Torsi poros

Jawaban: d = 60,58 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar yang diperlukan

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 0,5·π/180 = 0,008727 rad

J = TL/(Gφ) = 250000·1200/(26000·0,008727) = 1,322 × 10⁶ mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 60,58 mm

Jawaban

d = 60,58 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

4.Torsi poros

Jawaban: d = 74 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 100000/31,42 = 3183 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·3,183 × 10⁶/(π·40)) = 74 mm

Jawaban

d = 74 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: D (x = 6 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 50,83 kN, R₂ = 44,17 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = 93,67, M_C = 171,3, M_D = 233 kN·m, M_E = 168,7, M_F = 88,33, M_G = 0

Jawaban

Tanda D: M_D = 233 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_max = 252 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, bekerja di x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 80·4 + 5·10·5

R_B = 570/10 = 57 kN

ΣF_y = 0: R_A = 130 − 57 = 73 kN

Di mana V = 0?

V(4⁻) = R_A − w·4 = 53 kN

V(4⁺) = 53 − 80 = −27 kN

Gaya geser berganti tanda di titik beban, jadi maksimum berada di bawah beban.

Momen maksimum

M_max = R_A·4 − w·4²/2 = 73·4 − 5·4²/2 = 252 kN·m

Jawaban

M_max = 252 kN·m

Terjadi di x = 4 m dari A.

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: ȳ = 46,92 mm

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi persegi panjang

Ambil dasar selebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), sehingga tidak ada yang terhitung dua kali.

basis: A₁ = 160·18 = 2880 mm², y₁ = 9 mm

dua kaki: A₂ = 2·18·112 = 4032 mm², y₂ = 18 + 112/2 = 74 mm

Titik berat

ȳ = (2880·9 + 4032·74)/6912 = 46,92 mm

Jawaban

ȳ = 46,92 mm

8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: M_allow = 15,01 kN·m

Titik berat

ȳ = (2400·210 + 3200·100)/5600 = 147,1 mm

tepi atas: c = 220 − 147,1 = 72,86 mm

Momen inersia penampang

I = 120·20³/12 + 2400·62,86² + 16·200³/12 + 3200·47,14² = 2,734 × 10⁷ mm⁴

Momen yang diizinkan tiap tepi

Momen negatif: sisi atas tertarik, sisi bawah tertekan.

tepi atas: M = 40·2,734 × 10⁷/72,86 = 15,01 kN·m

tepi bawah: M = 120·2,734 × 10⁷/147,1 = 22,3 kN·m

Nilai yang menentukan

M_allow = min = 15,01 kN·m (tepi atas)

Jawaban

M_allow = 15,01 kN·m

9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_abs = 81,4 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Dalam tiga dimensi, tegangan geser maksimum absolut adalah (σ_max − σ_min)/2 dari ketiga tegangan utama; pada tegangan bidang tegangan utama ketiga bernilai nol.

Tegangan utama sebidang

C = 90 MPa, R = √(70² + 20²) = 72,8 MPa

σ₁ = 162,8 MPa, σ₂ = 17,2 MPa, σ_z = 0

Lingkaran terbesar dari ketiganya

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(145,6, 162,8, 17,2)/2 = 81,4 MPa

Jawaban

τ_abs = 81,4 MPa

Di sini lingkaran di luar bidang yang menentukan: maksimum absolutnya lebih besar daripada maksimum sebidang R.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_n = 23,8 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Silinder berdinding tipis: tegangan keliling σ_h = pr/t dan tegangan aksial σ_a = pr/(2t); keduanya adalah tegangan utama pada dinding.

Tegangan dinding

r = 500/2 = 250 mm

σ_h = pr/t = 1,2·250/10 = 30 MPa

σ_a = pr/(2t) = 15 MPa

Transformasikan ke kampuh

Ambil x sepanjang sumbu (σ_a) dan y mengelilingi keliling (σ_h). Normal kampuh membentuk 90° − α dengan sumbu.

σ_n = 15·sin²40° + 30·cos²40° = 23,8 MPa

Jawaban

σ_n = 23,8 MPa

11.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 1,578 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·2000⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 1,578 mm

Jawaban

δ_max = 1,578 mm

12.Lendutan balok

Jawaban: I_req = 136,4 × 10⁶ mm⁴

Batas lendutan

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·4000⁴/(384·11000·11,11) = 1,364 × 10⁸ mm⁴

I_req = 136,4 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_req = 136,4 × 10⁶ mm⁴

13.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 45,69 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·3000 = 6000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/6000² = 45693 N = 45,69 kN

Jawaban

P_cr = 45,69 kN

14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 75,51 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2,5·100000 = 250000 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·2100²/(π³·70000))^(1/4) = 75,51 mm

Jawaban

d = 75,51 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 111,2, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials