Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 30 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari kuningan (diameter 60 mm, panjang 300 mm, E = 100 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,3 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuningan, Ø60 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah segmen baja (diameter 40 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari perunggu (diameter 50 mm, panjang 200 mm, E = 110 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 100 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ₂ pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: perunggu, Ø50 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

3.Torsi porosSedang

Poros baja pejal bertingkat dijepit di A. Segmen AB berdiameter 75 mm dan panjang 0,5 m; segmen BC berdiameter 25 mm dan panjang 2 m. Torsi 100 N·m bekerja di ujung bebas C. Cari sudut puntir φ_C ujung C, dalam derajat.

T = 100 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 0,5 md₂ = 25 mm, L₂ = 2 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Torsi porosSulit

Poros aluminium pejal berdiameter 40 mm dijepit di A. Torsi 750 N·m bekerja di B, 2,5 m dari A, dan torsi 750 N·m dengan arah yang sama bekerja di ujung bebas C, 0,5 m lebih jauh. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

d = 40 mmT_B = 750 N·mT_C = 750 N·mAB = 2,5 mBC = 0,5 m

τ_max = MPa

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Balok sederhana menahan kopel searah jarum jam M₀ = 10 kN·m di x = 2 m dari A, tanpa beban lain. Cari momen lentur M_x tepat di kiri kopel. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 8 mM₀ = 10 kN·m searah jarum jam, di 2 m

M_x = kN·m

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

15 kN @ 6 m30 kN @ 3 m10 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Titik berat & momen inersiaSedang

Cari momen inersia I_x penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

b_f = 140 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersiaSulit

Balok besi tuang memiliki penampang T seperti pada gambar, dengan sayap di atas. Tegangan izinnya 30 MPa untuk tarik dan 90 MPa untuk tekan. Cari momen lentur positif terbesar M_allow yang dapat ditahan balok.

b_f = 140 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 240 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 60 MPa, σᵧ = −30 MPa, dan τₓᵧ = 20 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τ_max.

σ_x = 60 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 20 MPa

τ_max = MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −80 MPa, σᵧ = −60 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σ_θ pada bidang yang normalnya diputar 40° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σ_x = −80 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

11.Lendutan balokSedang

Kantilever sepanjang L dijepit di A dan menahan beban terpusat P pada jarak a = 2,5 m dari A. Cari lendutan δ_B di ujung bebas B.

P = 20 kNa = 2,5 mL = 4 mE = 200 GPa (baja)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada b = 1,5 m dari tumpuan B. Cari lendutan maksimum δ_max balok.

P = 8 kNb = 1,5 mL = 4 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (baja)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

14.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Kolom harus menahan 80 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 80 kNn = 2L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 94,25 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·706,9) = 2,122 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·2827) = 1,061 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,3/3,183 × 10⁻⁶ = 94248 N = 94,25 kN

Jawaban

P = 94,25 kN

2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ₂ = 34,75 MPa

Kekakuan

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm

k₂ = 110000·1963/200 = 1,08 × 10⁶ N/mm

Bagian segmen 2

F₂ = 100000·1,08 × 10⁶/1,583 × 10⁶ = 68238 N

Tegangan

σ₂ = 68238/1963 = 34,75 MPa (tekan)

Jawaban

σ₂ = 34,75 MPa

3.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 3,747 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J₁ = π·75⁴/32 = 3,106 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Puntiran tiap segmen

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 100000·500/(80000·3,106 × 10⁶) = 0,0002012 rad

φ_BC = 100000·2000/(80000·38350) = 0,06519 rad

Puntiran total

φ_C = 0,0002012 + 0,06519 = 0,06539 rad = 3,747°

Jawaban

φ_C = 3,747°

4.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 119,4 MPa

Torsi dalam

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 750 N·m

T_AB = T_C + T_B = 750 + 750 = 1500 N·m

Tegangan geser maksimum

Segmen dengan torsi dalam terbesar memiliki tegangan terbesar (diameter sama).

|T|_max = 1500 N·m

τ_max = 16·1,5 × 10⁶/(π·40³) = 119,4 MPa

Jawaban

τ_max = 119,4 MPa

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = −2,5 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Kopel yang bekerja membuat diagram momen lentur melompat sebesar kopel tersebut.

Reaksi tumpuan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam: R_B·L − M₀ = 0. Kesetimbangan vertikal: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 10/8 = 1,25 kN (ke atas)

R_A = −R_B = −1,25 kN (ke bawah)

Potong tepat di kiri kopel

Bagian kiri hanya memuat R_A.

M_x = R_A·a = −1,25·2 = −2,5 kN·m

Jawaban

M_x = −2,5 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: E (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 20 kN, R₂ = 65 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = 15, M_C = 20, M_D = 15, M_E = −30 kN·m, M_F = −15, M_G = 0

Jawaban

Tanda E: M_E = −30 kN·m

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 8,389 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 140·15 = 2100 mm², y_f = 140 + 15/2 = 147,5 mm

badan: A_w = 12·140 = 1680 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2100·147,5 + 1680·70)/3780 = 113,1 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 140·15³/12 + 2100·(147,5 − 113,1)² = 2,531 × 10⁶ mm⁴

badan: 12·140³/12 + 1680·(70 − 113,1)² = 5,858 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,531 × 10⁶ + 5,858 × 10⁶ = 8,389 × 10⁶ mm⁴ = 8,389 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 8,389 × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: M_allow = 5,282 kN·m

Titik berat

ȳ = (2800·250 + 2400·120)/5200 = 190 mm

tepi atas: c = 260 − 190 = 70 mm

Momen inersia penampang

I = 140·20³/12 + 2800·60² + 10·240³/12 + 2400·70² = 3,345 × 10⁷ mm⁴

Momen yang diizinkan tiap tepi

Momen positif: sisi atas tertekan, sisi bawah tertarik.

tepi atas: M = 90·3,345 × 10⁷/70 = 43,01 kN·m

tepi bawah: M = 30·3,345 × 10⁷/190 = 5,282 kN·m

Nilai yang menentukan

M_allow = min = 5,282 kN·m (tepi bawah)

Jawaban

M_allow = 5,282 kN·m

9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_max = 49,24 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari lingkaran Mohr

τ_max = R = √(((60 − −30)/2)² + 20²) = 49,24 MPa

Jawaban

τ_max = 49,24 MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_θ = −42,19 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = −70 + −10·0,1736 + 30·0,9848 = −42,19 MPa

Jawaban

σ_θ = −42,19 MPa

11.Lendutan balok

Jawaban: δ_B = 27,49 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 20000 N, a = 2500 mm, L = 4000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Lendutan di ujung bebas

Lendutan di titik beban ditambah kemiringan di titik beban dikali sisa panjang.

δ_P = Pa³/(3EI) = 14,47 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,008681 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 27,49 mm

Jawaban

δ_B = 27,49 mm

12.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 74,34 mm

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 8000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm

EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

Letak maksimum

Menyamakan kemiringan pada segmen yang lebih panjang dengan nol memberi letaknya.

x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1500²)/3) = 2141 mm

Defleksi maksimum

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 74,34 mm

Jawaban

δ_max = 74,34 mm

13.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 32,13 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·1000 = 2000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/2000² = 32128 N = 32,13 kN

Jawaban

P_cr = 32,13 kN

14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 104,2 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·80000 = 160000 N

KL = 1·5000 = 5000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·160000·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 104,2 mm

Jawaban

d = 104,2 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 191,9, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials