Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
P = ?12500 mm300 mmØ40Ø50δ = 0,5 mm

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 40 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari tembaga (diameter 50 mm, panjang 300 mm, E = 120 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,5 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: tembaga, Ø50 mm, 300 mm, E = 120 GPaδ = 0,5 mm
P = kN
2.Tegangan & regangan aksialSulit
40 kN12400 mm500 mmØ25Ø50σ2​ = ?

Sebuah segmen baja (diameter 25 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari perunggu (diameter 50 mm, panjang 500 mm, E = 110 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 40 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ2 pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: perunggu, Ø50 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 40 kN
σ2 = MPa
3.Torsi porosSedang
T = 500 N·md = 30 mmL = 0,8 mφ = ?

Poros pejal aluminium dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 500 N·md = 30 mmL = 0,8 mG = 26 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
Td = ?

Poros pejal harus meneruskan 75 kW pada 3000 rpm tanpa tegangan geser melebihi 40 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 75 kWN = 3000 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
P1​ = 60 kNP2​ = 60 kNAB2 m4 m2 m

Balok sederhana menahan dua beban terpusat. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.

L = 8 mP1 = 60 kN di 2 mP2 = 60 kN di 6 m
Mmax = kN·m
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 2 kN/mABC4 m1 m

Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 1 m melewati B hingga ujung bebas C. Beban merata w bekerja di sepanjang A–C. Cari momen lentur positif maksimum Mmax di antara tumpuan.

L = 5 mw = 2 kN/m dari 0 sampai 5 mtumpuan di x = 0 dan x = 4 m
Mmax = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
120 mm150 mm60 mmØ30xIx​ = ?

Sebuah pelat 120 mm × 150 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 30 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 60 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 120 mmh = 150 mmd = 30 mmpusat lubang: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
200 mm200 mm70 mm50 × 40xIx​ = ?

Sebuah pelat 200 mm × 200 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 50 mm dan setinggi 40 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 70 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 200 mmh = 200 mmpotongan: 50 × 40 mmpusat lubang: y = 70 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 120σy​ = 60τxy​ = −30MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 120 MPa, σᵧ = 60 MPa, dan τₓᵧ = −30 MPa (tarik positif). Cari sudut θp dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σx = 120 MPaσy = 60 MPaτxy = −30 MPa
θp = °
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
40°D = 1500 mm, t = 8 mm, p = 2 MPap

Tangki silinder berdinding tipis dengan diameter dalam 1500 mm dan tebal dinding 8 mm berisi gas bertekanan gauge 2 MPa. Tangki dibuat dari pelat yang dilas sepanjang kampuh heliks bersudut 40° terhadap sumbu silinder. Cari tegangan normal σn yang bekerja tegak lurus kampuh las.

D = 1500 mmt = 8 mmp = 2 MPaα = 40°
σn = MPa
11.Lendutan balokSedang
P = 13 kNABδ4,5 m3,5 m

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada a = 4,5 m dari tumpuan A. Cari lendutan δP di bawah beban.

P = 13 kNa = 4,5 mL = 8 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 20 kN/mδL = 3 m

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil Ireq yang memenuhi batas ini.

w = 20 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (kayu struktural)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolomSedang
PL = 2 md = 50 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 2 md = 30 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (baja)d = 30 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 153,2 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1963 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1,989 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(120000·1963) = 1,273 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,5/3,263 × 10⁻⁶ = 153248 N = 153,2 kN

Jawaban

P = 153,2 kN
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ2 = 12,99 MPa

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·490,9/400 = 245437 N/mm
k₂ = 110000·1963/500 = 431969 N/mm

Bagian segmen 2

F2 = 40000·431969/677406 = 25507 N

Tegangan

σ2 = 25507/1963 = 12,99 MPa (tekan)

Jawaban

σ2 = 12,99 MPa
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 11,08 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 500·1000·800/(26000·79522) = 0,1935 rad
φ = 0,1935·180/π = 11,08°

Jawaban

φ = 11,08°
4.Torsi poros

Jawaban: d = 31,21 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s
T = P/ω = 75000/314,2 = 238,7 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·238732/(π·40)) = 31,21 mm

Jawaban

d = 31,21 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 120 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

ΣMA = 0: RB·8 = 60·2 + 60·6
RB = 480/8 = 60 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 60 = 60 kN

Momen di bawah tiap beban

Ambil bagian di kiri tiap beban.

di bawah P1: M = RA·2 = 60·2 = 120 kN·m
di bawah P2: M = RB·2 = 60·2 = 120 kN·m

Nilai terbesar

Mmax = 120 kN·m (di bawah P1)

Jawaban

Mmax = 120 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 3,516 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok, termasuk beban pada overstek.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 2·5·2,5
RB = 25/4 = 6,25 kN
ΣFy = 0: RA = 10 − 6,25 = 3,75 kN

Gaya geser nol

RA − w·x0 = 0 → x0 = 3,75/2 = 1,875 m

Momen positif maksimum

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 3,75²/(2·2) = 3,516 kN·m

Jawaban

Mmax = 3,516 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 33,54 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (18000·75 − 706,9·60)/(18000 − 706,9) = 75,61 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

120·150³/12 + 18000·−0,6131² = 33,76 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−15,61² = 0,2121 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 33,54 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 33,54 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 131,2 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (40000·100 − 2000·70)/(40000 − 2000) = 101,6 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

200·200³/12 + 40000·−1,579² = 133,4 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

50·40³/12 + 2000·−31,58² = 2,261 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 131,2 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 131,2 × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θp = −22,5 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCσ1​σ2​

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θp = atan2(2·−30, 120 − 60) = −45°

Sudut pada elemen

θp = −22,5°

Jawaban

θp = −22,5°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σn = 148,8 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Silinder berdinding tipis: tegangan keliling σh = pr/t dan tegangan aksial σa = pr/(2t); keduanya adalah tegangan utama pada dinding.

Tegangan dinding

r = 1500/2 = 750 mm
σh = pr/t = 2·750/8 = 187,5 MPa
σa = pr/(2t) = 93,75 MPa

Transformasikan ke kampuh

Ambil x sepanjang sumbu (σa) dan y mengelilingi keliling (σh). Normal kampuh membentuk 90° − α dengan sumbu.

σn = 93,75·sin²40° + 187,5·cos²40° = 148,8 MPa

Jawaban

σn = 148,8 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δP = 12 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 13000 N, a = 4500 mm, b = 3500 mm, L = 8000 mm
EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Lendutan di bawah beban

δP = Pa²b²/(3EIL) = 13000·4500²·3500²/(3·1,12 × 10¹³·8000) = 12 mm

Jawaban

δP = 12 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: Ireq = 230,1 × 10⁶ mm⁴

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Batas lendutan

δallow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·20·3000⁴/(384·11000·8,333) = 2,301 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 230,1 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ireq = 230,1 × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 108,1 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/1400² = 108141 N = 108,1 kN

Jawaban

Pcr = 108,1 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 6,94 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 2·2000 = 4000 mm
KL/r = 4000/7,5 = 533,3

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/533,3² = 6,94 MPa

Jawaban

σcr = 6,94 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials