Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 20 mmAluminium1,5 mP = 75 kN

Cari regangan aksial ε pada batang aluminium, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 75 kNd = 20 mmL = 1,5 mE = 70 GPa
ε = µε
2.Tegangan & regangan aksialSulit
P = ?Ø20120 GPaØ100/70300 mm

Sebuah batang baja (diameter 20 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 160 MPa) berada di dalam tabung dari tembaga (diameter luar 100 mm, diameter dalam 70 mm, E = 120 GPa, tegangan izin 60 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar Pmax.

batang: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 160 MPatabung: Ø100/Ø70 mm, E = 120 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
3.Torsi porosSedang
do​ = 80, di​ = 60 mmT = 1500 N·mL = 1,5 m

Poros aluminium berongga (diameter luar 80 mm, diameter dalam 60 mm, panjang 1,5 m) dijepit di satu ujung dan dipuntir oleh torsi 1500 N·m di ujung lainnya. Cari sudut puntir φ dalam derajat.

T = 1500 N·mdo = 80 mmdi = 60 mmL = 1,5 mG = 26 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
d = 30 mmTB​ = 250 N·mTC​ = 250 N·mABC1,2 m2 m

Poros baja pejal berdiameter 30 mm dijepit di A. Torsi 250 N·m bekerja di B, 1,2 m dari A, dan torsi 250 N·m dengan arah yang sama bekerja di ujung bebas C, 2 m lebih jauh. Cari besar sudut puntir φC ujung C, dalam derajat.

d = 30 mmTB = 250 N·mTC = 250 N·mAB = 1,2 mBC = 2 mG = 80 GPa
φC = °
5.Gaya geser & momen lenturSedang
15 kN/m15 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

15 kN @ 3 m15 kN/m, 1–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 2 kN/mABC6 m1 m

Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 1 m melewati B hingga ujung bebas C. Beban merata w bekerja di sepanjang A–C. Cari jarak xc dari A ke titik balik lentur di antara tumpuan (tempat momen lentur berganti tanda).

L = 7 mw = 2 kN/m dari 0 sampai 7 mtumpuan di x = 0 dan x = 6 m
xc = m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
120 mm240 mm144 mmØ30xIx​ = ?

Sebuah pelat 120 mm × 240 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 30 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 144 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 120 mmh = 240 mmd = 30 mmpusat lubang: y = 144 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
1602014020xM = 25 kN·mdimensi dalam mm

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 25 kN·m. Cari besar tegangan lentur σatas di tepi atas.

bf = 160 mmtf = 20 mmtw = 20 mmhw = 140 mmM = 25 kN·m
σatas = MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = −20σy​ = −10τxy​ = 30MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −20 MPa, σᵧ = −10 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τmax.

σx = −20 MPaσy = −10 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = 30σy​ = 30τxy​ = 20MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 30 MPa, σᵧ = 30 MPa, dan τₓᵧ = 20 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σθ pada bidang yang normalnya diputar 20° searah jarum jam dari sumbu x.

σx = 30 MPaσy = 30 MPaτxy = 20 MPaθ = -20°
σθ = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 8 kN/mδL = 3 m

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang. Cari lendutan δ di ujung bebas.

w = 8 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Lendutan balokSulit
P = 35 kNAB2 m2 m

Kantilever bertopang dijepit di A dan ditumpu sederhana (ditopang) di B. Balok menahan beban terpusat P di tengah bentang. EI konstan. Cari reaksi RB di topang.

L = 4 mP = 35 kN di 2 m
RB = kN
13.Tekuk kolomSedang
PL = 3 m30 × 50 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 3 mE = 200 GPa (baja)b × h = 30 × 50 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 3 md = 50 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 3410 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 75·1000/314,2 = 238,7 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 238,7/70000 = 0,00341 = 3410 µε

Jawaban

ε = 3410 µε
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: Pmax = 271,7 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

Ar = π·20²/4 = 314,2 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·4006 = 5,435 × 10⁸ N

Regangan penentu

ε = min(0,0008, 0,0005) = 0,0005 (tembaga)

Beban terbesar

Pmax = 0,0005·5,435 × 10⁸ = 271748 N = 271,7 kN

Jawaban

Pmax = 271,7 kN
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 1,804 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π(80⁴ − 60⁴)/32 = 2,749 × 10⁶ mm⁴

Sudut puntir

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm
L = 1,5 m = 1500 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = TL/(GJ) = 1,5 × 10⁶·1500/(26000·2,749 × 10⁶) = 0,03148 rad
φ = 0,03148·180/π = 1,804°

Jawaban

φ = 1,804°
4.Torsi poros

Jawaban: φC = 9,907 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi dalam

Arah TC diambil sebagai positif.

TBC = TC = 250 N·m
TAB = TC + TB = 250 + 250 = 500 N·m

Puntiran tiap segmen

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 500000·1200/(80000·79522) = 0,09431 rad
φBC = 250000·2000/(80000·79522) = 0,0786 rad

Puntiran ujung C

φC = 0,09431 + 0,0786 = 0,1729 rad → |φC| = 9,907°

Jawaban

φC = 9,907°
5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: D (x = 3 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 33,75 kN, R2 = 26,25 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 33,75, MC = 60, MD = 71,25 kN·m, ME = 52,5, MF = 26,25, MG = 0

Jawaban

Tanda D: MD = 71,25 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: xc = 5,833 m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok, termasuk beban pada overstek.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 2·7 = 14 kN, bekerja di x̄ = 3,5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 2·7·3,5
RB = 49/6 = 8,167 kN
ΣFy = 0: RA = 14 − 8,167 = 5,833 kN

Momen nol

Di antara tumpuan, M(x) = RA·x − w·x²/2. Selain di x = 0, momen bernilai nol di x = 2RA/w.

RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·5,833/2 = 5,833 m

Jawaban

xc = 5,833 m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 137,8 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (28800·120 − 706,9·144)/(28800 − 706,9) = 119,4 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

120·240³/12 + 28800·0,6039² = 138,3 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·24,6² = 0,4677 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 137,8 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 137,8 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σatas = 83,11 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 160·20 = 3200 mm², yf = 140 + 20/2 = 150 mm
badan: Aw = 20·140 = 2800 mm², yw = 140/2 = 70 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3200·150 + 2800·70)/6000 = 112,7 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 160·20³/12 + 3200·(150 − 112,7)² = 4,567 × 10⁶ mm⁴
badan: 20·140³/12 + 2800·(70 − 112,7)² = 9,671 × 10⁶ mm⁴
Ix = 4,567 × 10⁶ + 9,671 × 10⁶ = 1,424 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi atas berjarak h − ȳ dari sumbu.

y = 160 − 112,7 = 47,33 mm
σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·47,33/1,424 × 10⁷ = 83,11 MPa

Jawaban

σatas = 83,11 MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τmax = 30,41 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCτmax​

Jari-jari lingkaran Mohr

τmax = R = √(((−20 − −10)/2)² + 30²) = 30,41 MPa

Jawaban

τmax = 30,41 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σθ = 17,14 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

σθ = 30 + 0·0,766 + 20·−0,6428 = 17,14 MPa

Jawaban

σθ = 17,14 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δ = 9,643 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 3000 mm
EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δ = wL⁴/(8EI) = 8·3000⁴/(8·8,4 × 10¹²) = 9,643 mm

Jawaban

δ = 9,643 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: RB = 10,94 kN

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi). Untuk balok statis tak tentu, lepaskan satu tumpuan kelebihan dan syaratkan lendutan di sana nol (kompatibilitas).

Lepaskan topang

Tanpa topang, balok adalah kantilever. Ujung bebasnya akan melendut akibat beban.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Kompatibilitas di topang

Gaya topang RB sendiri mengangkat ujung bebas sebesar RBL³/(3EI). Topang menahan B pada lendutan nol, jadi keduanya harus saling meniadakan. EI saling menghapus.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·35/16 = 10,94 kN

Jawaban

RB = 10,94 kN
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 6,169 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·3000 = 6000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/6000² = 6169 N = 6,169 kN

Jawaban

Pcr = 6,169 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 11,99 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 1·3000 = 3000 mm
KL/r = 3000/12,5 = 240

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/240² = 11,99 MPa

Jawaban

σcr = 11,99 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials