Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 16 mmTembaga1 mP = 45 kN

Cari pertambahan panjang δ batang tembaga akibat beban aksial.

P = 45 kNd = 16 mmL = 1 mE = 117 GPa
δ = mm
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 40 mmBaja0,5 mØ 16 mmTembaga0,5 mP = 80 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 80 kNsegmen 1: Ø40 mm, 0,5 m, baja (E = 200 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 0,5 m, tembaga (E = 117 GPa)
δ = mm
3.Torsi porosSedang
T = 200 N·md = 25 mmL = 2 mφ = ?

Poros pejal kuningan dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 200 N·md = 25 mmL = 2 mG = 39 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
Td = ?

Poros pejal harus meneruskan 100 kW pada 1450 rpm tanpa tegangan geser melebihi 40 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 100 kWN = 1450 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
5 kN/m20 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

20 kN @ 6 m5 kN/m, 0–12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.Gaya geser & momen lenturSulit
10 kN30 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

10 kN @ 6 m30 kN @ 1 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Titik berat & momen inersiaSedang
xD = 290d = 270dimensi dalam mm

Pipa bulat memiliki diameter luar D = 290 mm dan diameter dalam d = 270 mm. Cari jari-jari girasinya r terhadap sumbu titik berat horizontal.

D = 290 mmd = 270 mm
r = mm
8.Titik berat & momen inersiaSulit
200260141902210xdimensi dalam mm

Profil I las memiliki sayap atas 200 × 14 mm, badan setinggi 190 mm dan setebal 10 mm, dan sayap bawah 260 × 22 mm (lebar × tebal). Cari momen inersianya Ix terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

sayap atas: 200 × 14 mmbadan: 10 × 190 mmsayap bawah: 260 × 22 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = −20σy​ = −30MPaτxy​ = ?

Suatu titik memiliki σₓ = −20 MPa dan σᵧ = −30 MPa. Seberapa besar tegangan geser τxy (besarnya) dapat meningkat sebelum tegangan utama terbesar mencapai 10 MPa?

σx = −20 MPaσy = −30 MPaσ1 = 10 MPa
τxy = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = −80σy​ = 110τxy​ = −30MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −80 MPa, σᵧ = 110 MPa, dan τₓᵧ = −30 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σθ pada bidang yang normalnya diputar 20° searah jarum jam dari sumbu x.

σx = −80 MPaσy = 110 MPaτxy = −30 MPaθ = -20°
σθ = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 6 kN/mP = 15 kNABδ2 m

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P di ujung bebasnya. Dengan superposisi, cari lendutan δ di ujung bebas.

P = 15 kNw = 6 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Lendutan balokSulit
P = 2 kNABδ4 m1 m

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada b = 1 m dari tumpuan B. Cari lendutan maksimum δmax balok.

P = 2 kNb = 1 mL = 5 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Tekuk kolomSedang
PL = 4 md = 50 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 4 mE = 200 GPa (baja)d = 50 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 2 md = 50 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 1,913 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 45·1000/201,1 = 223,8 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for tembaga = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 223,8/117000 = 0,001913 = 1913 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,001913·1000 mm = 1,913 mm

Jawaban

δ = 1,913 mm
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 1,86 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 63,66 MPa
σ2 = 397,9 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ1 = σ1L1/E1 = 63,66·500/200000 = 0,1592 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 397,9·500/117000 = 1,7 mm
δ = δ1 + δ2 = 1,86 mm

Jawaban

δ = 1,86 mm
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 15,32 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2000/(39000·38350) = 0,2674 rad
φ = 0,2674·180/π = 15,32°

Jawaban

φ = 15,32°
4.Torsi poros

Jawaban: d = 43,77 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 100000/151,8 = 658,6 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·658572/(π·40)) = 43,77 mm

Jawaban

d = 43,77 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: D (x = 6 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 40 kN, R2 = 40 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 70, MC = 120, MD = 150 kN·m, ME = 120, MF = 70, MG = 0

Jawaban

Tanda D: MD = 150 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: B (x = 1 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 22 kN, R2 = 18 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 22 kN·m, MC = 14, MD = 6, ME = −2, MF = −10, MG = 0

Jawaban

Tanda B: MB = 22 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: r = 99,06 mm

Momen inersia penampang: untuk persegi panjang terhadap sumbu titik beratnya sendiri I = bh³/12, dan terhadap alasnya bh³/3 (teorema sumbu sejajar I = Ic + A·d²). Lubang diperhitungkan dengan mengurangkan I-nya, asalkan kedua bagian memakai sumbu yang sama. Modulus penampang elastis adalah S = I/c, dengan c jarak ke serat terluar. Jari-jari girasi r = √(I/A) adalah jarak tempat seluruh luas akan memberi I yang sama; besaran ini dipakai pada tekuk kolom.

Luas bersih dan momen inersia

A = π(D² − d²)/4 = 8796 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 8,632 × 10⁷ mm⁴

Jari-jari girasi

r = √(I/A) = √(8,632 × 10⁷/8796) = 99,06 mm

Jawaban

r = 99,06 mm
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 89,52 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi tiga persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap atas: A = 2800 mm², y = 219 mm
badan: A = 1900 mm², y = 117 mm
sayap bawah: A = 5720 mm², y = 11 mm

Titik berat

ȳ = (2800·219 + 1900·117 + 5720·11)/10420 = 86,22 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap atas: 200·14³/12 + 2800·132,8² = 4,941 × 10⁷ mm⁴
badan: 10·190³/12 + 1900·30,78² = 7,516 × 10⁶ mm⁴
sayap bawah: 260·22³/12 + 5720·75,22² = 3,26 × 10⁷ mm⁴
Ix = 4,941 × 10⁷ + 7,516 × 10⁶ + 3,26 × 10⁷
Ix = 8,952 × 10⁷ mm⁴ = 89,52 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 89,52 × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τxy = 34,64 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari yang diperlukan

C = (−20 + (−30))/2 = −25 MPa
R = σ1 − C = 10 − (−25) = 35 MPa
στxyCσ1​σ2​

Tegangan geser

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(35² − 5²) = 34,64 MPa

Jawaban

τxy = 34,64 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σθ = −38,49 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

σθ = 15 + −95·0,766 + −30·−0,6428 = −38,49 MPa

Jawaban

σθ = −38,49 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δ = 4,643 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 15000 N, w = 6 N/mm, L = 2000 mm
EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Setiap beban sendiri

δP = PL³/(3EI) = 15000·2000³/(3·1,12 × 10¹³) = 3,571 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 6·2000⁴/(8·1,12 × 10¹³) = 1,071 mm

Jumlahkan

δ = 3,571 + 1,071 = 4,643 mm

Jawaban

δ = 4,643 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 3,265 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 2000 N, b = 1000 mm, L = 5000 mm
EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Letak maksimum

Menyamakan kemiringan pada segmen yang lebih panjang dengan nol memberi letaknya.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 1000²)/3) = 2828 mm

Defleksi maksimum

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 3,265 mm

Jawaban

δmax = 3,265 mm
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 151,4 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2000² = 151398 N = 151,4 kN

Jawaban

Pcr = 151,4 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 26,99 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 1·2000 = 2000 mm
KL/r = 2000/12,5 = 160

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/160² = 26,99 MPa

Jawaban

σcr = 26,99 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials