Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 12 mmAluminium2,5 mP = 10 kN

Cari pertambahan panjang δ batang aluminium akibat beban aksial.

P = 10 kNd = 12 mmL = 2,5 mE = 70 GPa
δ = mm
2.Tegangan & regangan aksialSulit
100 kN12600 mm500 mmØ40Ø50σ2​ = ?

Sebuah segmen baja (diameter 40 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari kuningan (diameter 50 mm, panjang 500 mm, E = 100 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 100 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ2 pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuningan, Ø50 mm, 500 mm, E = 100 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
3.Torsi porosSedang
d1​ = 25 mmd2​ = 20 mmT = 400 N·mABC0,5 m3 m

Poros baja pejal bertingkat dijepit di A. Segmen AB berdiameter 25 mm dan panjang 0,5 m; segmen BC berdiameter 20 mm dan panjang 3 m. Torsi 400 N·m bekerja di ujung bebas C. Cari tegangan geser maksimum τmax pada poros.

T = 400 N·md1 = 25 mm, L1 = 0,5 md2 = 20 mm, L2 = 3 m
τmax = MPa
4.Torsi porosSulit
d = ?15 kW, 300 rpm

Poros aluminium pejal meneruskan 15 kW pada 300 rpm. Tegangan geser tidak boleh melebihi 75 MPa dan puntiran tidak boleh melebihi 1° per m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua batas.

P = 15 kWN = 300 rpmτallow = 75 MPaθallow = 1°/mG = 26 GPa
d = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
w = 6 kN/mABpotongan4 m1 m

Cari gaya geser Vx pada potongan x = 4 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 5 mw = 6 kN/m dari 0 sampai 5 mx = 4 m
Vx = kN
6.Gaya geser & momen lenturSulit
6 kN/m60 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

60 kN @ 6 m6 kN/m, 0–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Titik berat & momen inersiaSedang
2803028012xdimensi dalam mm

Cari momen inersia Ix penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

bf = 280 mmtf = 30 mmtw = 12 mmhw = 280 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
100101808xM positifdimensi dalam mm

Balok besi tuang memiliki penampang T seperti pada gambar, dengan sayap di atas. Tegangan izinnya 40 MPa untuk tarik dan 90 MPa untuk tekan. Cari momen lentur positif terbesar Mallow yang dapat ditahan balok.

bf = 100 mmtf = 10 mmtw = 8 mmhw = 180 mmσt,allow = 40 MPaσc,allow = 90 MPa
Mallow = kN·m
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 110σy​ = −20τxy​ = 30MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 110 MPa, σᵧ = −20 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τmax.

σx = 110 MPaσy = −20 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​τxy​permukaan atas poros

Poros pejal berdiameter 30 mm menahan momen lentur sebesar 500 N·m bersama torsi 100 N·m. Di permukaan atas, tempat tegangan lentur bersifat tarik dan paling besar, cari tegangan utama terbesar σ1.

d = 30 mmM = 500 N·mT = 100 N·m
σ1 = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 10 kN/mABθ3 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari kemiringan θA balok di tumpuan A, dalam radian.

w = 10 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.Lendutan balokSulit
P = 45 kNAB4 m4 m

Kantilever bertopang dijepit di A dan ditumpu sederhana (ditopang) di B. Balok menahan beban terpusat P di tengah bentang. EI konstan. Cari reaksi RB di topang.

L = 8 mP = 45 kN di 4 m
RB = kN
13.Tekuk kolomSedang
PL = 3 m20 × 60 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 3 mE = 200 GPa (baja)b × h = 20 × 60 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
P = 125 kNL = 6 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Kolom harus menahan 125 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 125 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (baja)
d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 3,158 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ = P/A = 10·1000/113,1 = 88,42 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 88,42/70000 = 0,001263 = 1263 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,001263·2500 mm = 3,158 mm

Jawaban

δ = 3,158 mm
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ2 = 24,64 MPa

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·1257/600 = 418879 N/mm
k₂ = 100000·1963/500 = 392699 N/mm

Bagian segmen 2

F2 = 100000·392699/811578 = 48387 N

Tegangan

σ2 = 48387/1963 = 24,64 MPa (tekan)

Jawaban

σ2 = 24,64 MPa
3.Torsi poros

Jawaban: τmax = 254,6 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Tegangan pada tiap segmen

T = 400 N·m = 400000 N·mm
τAB = 16·400000/(π·25³) = 130,4 MPa
τBC = 16·400000/(π·20³) = 254,6 MPa

Jawaban

τmax = 254,6 MPa
4.Torsi poros

Jawaban: d = 57,22 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s
T = P/ω = 15000/31,42 = 477,5 N·m

Diameter berdasarkan kekuatan

T = 477,5 N·m = 477465 N·mm
dτ = ∛(16·477465/(π·75)) = 31,89 mm

Diameter berdasarkan kekakuan

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·477465/(π·26000·1,745 × 10⁻⁵))1/4 = 57,22 mm

Diameter yang menentukan

Kedua batas harus terpenuhi, jadi diameter yang lebih besar yang menentukan.

d = max(31,89, 57,22) = 57,22 mm

Jawaban

d = 57,22 mm

Di sini kekakuan yang menentukan.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Vx = −9 kN

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 6·5·2,5
RB = 75/5 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 15 = 15 kN
w = 6 kN/mABRA​ = 15RB​ = 15potongan4 m1 m

Potong di x = 4 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

V = RA − (semua beban ke bawah di kiri potongan)
Vx = 15 − 6·4 = −9 kN

Jawaban

Vx = −9 kN
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: F (x = 5 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 3 kN, R2 = 87 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 0, MC = −6, MD = −18, ME = −36, MF = −60 kN·m, MG = 0

Jawaban

Tanda F: MF = −60 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 80,24 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 280·30 = 8400 mm², yf = 280 + 30/2 = 295 mm
badan: Aw = 12·280 = 3360 mm², yw = 280/2 = 140 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (8400·295 + 3360·140)/11760 = 250,7 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 280·30³/12 + 8400·(295 − 250,7)² = 1,71 × 10⁷ mm⁴
badan: 12·280³/12 + 3360·(140 − 250,7)² = 6,314 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,71 × 10⁷ + 6,314 × 10⁷ = 8,024 × 10⁷ mm⁴ = 80,24 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 80,24 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Mallow = 2,861 kN·m

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Titik berat

ȳ = (1000·185 + 1440·90)/2440 = 128,9 mm
tepi atas: c = 190 − 128,9 = 61,07 mm

Momen inersia penampang

I = 100·10³/12 + 1000·56,07² + 8·180³/12 + 1440·38,93² = 9,223 × 10⁶ mm⁴

Momen yang diizinkan tiap tepi

Momen positif: sisi atas tertekan, sisi bawah tertarik.

tepi atas: M = 90·9,223 × 10⁶/61,07 = 13,59 kN·m
tepi bawah: M = 40·9,223 × 10⁶/128,9 = 2,861 kN·m

Nilai yang menentukan

Mallow = min = 2,861 kN·m (tepi bawah)

Jawaban

Mallow = 2,861 kN·m
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τmax = 71,59 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCτmax​

Jari-jari lingkaran Mohr

τmax = R = √(((110 − −20)/2)² + 30²) = 71,59 MPa

Jawaban

τmax = 71,59 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ1 = 190,5 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Tegangan di permukaan

σ = 32M/(πd³) = 32·500000/(π·30³) = 188,6 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·100000/(π·30³) = 18,86 MPa
στxyCσ1​σ2​

Lingkaran Mohr

C = σ/2 = 94,31 MPa
R = √(94,31² + 18,86²) = 96,18 MPa
σ1 = C + R = 190,5 MPa
σ2 = C − R = −1,868 MPa

Jawaban

σ1 = 190,5 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: θA = 0,00282 rad

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi). Kemiringan θ = dv/dx adalah integral pertama dari M/(EI); dengan satuan yang konsisten hasilnya dalam radian.

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 3000 mm
EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Kemiringan ujung

θA = wL³/(24EI) = 10·3000³/(24·3,99 × 10¹²) = 0,00282 rad

Jawaban

θA = 0,00282 rad

Itu sama dengan 0,1615°.

12.Lendutan balok

Jawaban: RB = 14,06 kN

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi). Untuk balok statis tak tentu, lepaskan satu tumpuan kelebihan dan syaratkan lendutan di sana nol (kompatibilitas).

Lepaskan topang

Tanpa topang, balok adalah kantilever. Ujung bebasnya akan melendut akibat beban.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Kompatibilitas di topang

Gaya topang RB sendiri mengangkat ujung bebas sebesar RBL³/(3EI). Topang menahan B pada lendutan nol, jadi keduanya harus saling meniadakan. EI saling menghapus.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·45/16 = 14,06 kN

Jawaban

RB = 14,06 kN
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 35,09 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·40000/1500² = 35092 N = 35,09 kN

Jawaban

Pcr = 35,09 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 82,14 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 2·125000 = 250000 N
KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 82,14 mm

Jawaban

d = 82,14 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 204,5, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials