Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari pertambahan panjang δ batang aluminium akibat beban aksial.

P = 40 kNd = 16 mmL = 0,5 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah segmen baja (diameter 40 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari aluminium (diameter 60 mm, panjang 400 mm, E = 70 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 30 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ₂ pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø60 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.Torsi porosSedang

Poros pejal kuningan dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 200 N·md = 25 mmL = 2,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros pejal harus meneruskan 100 kW pada 750 rpm tanpa tegangan geser melebihi 40 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 100 kWN = 750 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

45 kN @ 10 m25 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 3,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 10 mP = 35 kN di 2 mw = 4 kN/m dari 0 sampai 10 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

7.Titik berat & momen inersiaSedang

Sebuah pelat 120 mm × 150 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 30 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 105 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 120 mmh = 150 mmd = 30 mmpusat lubang: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersiaSulit

Balok besi tuang memiliki penampang T seperti pada gambar, dengan sayap di atas. Tegangan izinnya 30 MPa untuk tarik dan 120 MPa untuk tekan. Cari momen lentur positif terbesar M_allow yang dapat ditahan balok.

b_f = 260 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 220 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = 70 MPa dan σᵧ = 90 MPa. Seberapa besar tegangan geser τ_xy (besarnya) dapat meningkat sebelum tegangan utama terbesar mencapai 110 MPa?

σ_x = 70 MPaσ_y = 90 MPaσ₁ = 110 MPa

τ_xy = MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 160 MPa, σᵧ = −60 MPa, dan τₓᵧ = −60 MPa (σ_z = 0). Cari tegangan ekuivalen von Mises σ_vM.

σ_x = 160 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −60 MPa

σ_vM = MPa

11.Lendutan balokSedang

Kantilever sepanjang L dijepit di A dan menahan beban terpusat P pada jarak a = 0,5 m dari A. Cari lendutan δ_B di ujung bebas B.

P = 17 kNa = 0,5 mL = 3 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban merata w dan beban terpusat P di tengah bentang. Dengan superposisi, cari lendutan tengah δ_max.

P = 26 kNw = 8 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (baja)d = 20 mm

P_cr = kN

14.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Kolom harus menahan 145 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 145 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 1,421 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 40·1000/201,1 = 198,9 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 198,9/70000 = 0,002842 = 2842 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,002842·500 mm = 1,421 mm

Jawaban

δ = 1,421 mm

2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ₂ = 5,746 MPa

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·1257/600 = 418879 N/mm

k₂ = 70000·2827/400 = 494801 N/mm

Bagian segmen 2

F₂ = 30000·494801/913680 = 16246 N

Tegangan

σ₂ = 16246/2827 = 5,746 MPa (tekan)

Jawaban

σ₂ = 5,746 MPa

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 19,15 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2500/(39000·38350) = 0,3343 rad

φ = 0,3343·180/π = 19,15°

Jawaban

φ = 19,15°

4.Torsi poros

Jawaban: d = 54,53 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 100000/78,54 = 1273 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·1,273 × 10⁶/(π·40)) = 54,53 mm

Jawaban

d = 54,53 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: F (x = 10 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 28,33 kN, R₂ = 41,67 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = 56,67, M_C = 63,33, M_D = 70, M_E = 76,67, M_F = 83,33 kN·m, M_G = 0

Jawaban

Tanda F: M_F = 83,33 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 91 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, bekerja di x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 35·2 + 4·10·5

R_B = 270/10 = 27 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 27 = 48 kN

Potong di x = 3,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 48·3,5 − 35·(3,5 − 2) − 4·3,5·1,75 = 91 kN·m

Jawaban

M_x = 91 kN·m

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 33,05 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki I_c = bh³/12 dan lingkaran I_c = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (18000·75 − 706,9·105)/(18000 − 706,9) = 73,77 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

120·150³/12 + 18000·1,226² = 33,78 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·31,23² = 0,729 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 33,05 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 33,05 × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: M_allow = 7,696 kN·m

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Titik berat

ȳ = (3900·227,5 + 3960·110)/7860 = 168,3 mm

tepi atas: c = 235 − 168,3 = 66,7 mm

Momen inersia penampang

I = 260·15³/12 + 3900·59,2² + 18·220³/12 + 3960·58,3² = 4,317 × 10⁷ mm⁴

Momen yang diizinkan tiap tepi

Momen positif: sisi atas tertekan, sisi bawah tertarik.

tepi atas: M = 120·4,317 × 10⁷/66,7 = 77,67 kN·m

tepi bawah: M = 30·4,317 × 10⁷/168,3 = 7,696 kN·m

Nilai yang menentukan

M_allow = min = 7,696 kN·m (tepi bawah)

Jawaban

M_allow = 7,696 kN·m

9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_xy = 28,28 MPa

Jari-jari yang diperlukan

C = (70 + 90)/2 = 80 MPa

R = σ₁ − C = 110 − 80 = 30 MPa

Tegangan geser

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(30² − 10²) = 28,28 MPa

Jawaban

τ_xy = 28,28 MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_vM = 222,7 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σ_Y/2.

Tegangan utama

C = 50 MPa, R = 125,3 MPa

σ₁ = 175,3 MPa, σ₂ = −75,3 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(175,3² − 175,3·(−75,3) + (−75,3)²) = 222,7 MPa

Jawaban

σ_vM = 222,7 MPa

11.Lendutan balok

Jawaban: δ_B = 9,603 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 17000 N, a = 500 mm, L = 3000 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Lendutan di ujung bebas

Lendutan di titik beban ditambah kemiringan di titik beban dikali sisa panjang.

δ_P = Pa³/(3EI) = 1,13 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,003389 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 9,603 mm

Jawaban

δ_B = 9,603 mm

12.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 17,47 mm

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 26000 N, w = 8 N/mm, L = 3000 mm, EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Setiap beban sendiri

δ_P = PL³/(48EI) = 26000·3000³/(48·1,32 × 10¹²) = 11,08 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·3000⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 6,392 mm

Jumlahkan

δ_max = 11,08 + 6,392 = 17,47 mm

Jawaban

δ_max = 17,47 mm

13.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 3,515 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/2100² = 3515 N = 3,515 kN

Jawaban

P_cr = 3,515 kN

14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 60,27 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·145000 = 290000 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·290000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 60,27 mm

Jawaban

d = 60,27 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 139,4, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials