Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 16 mmKuningan2,5 mP = 35 kN

Cari regangan aksial ε pada batang kuningan, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 35 kNd = 16 mmL = 2,5 mE = 100 GPa
ε = µε
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 30 mmTembaga0,5 mØ 12 mmKuningan1,5 mP = 25 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σmax pada batang.

P = 25 kNsegmen 1: Ø30 mm, 0,5 m, tembaga (E = 117 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1,5 m, kuningan (E = 100 GPa)
σmax = MPa
3.Torsi porosSedang
T = 250 N·md = 50 mmL = 1,2 mφ = ?

Poros pejal aluminium dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 250 N·md = 50 mmL = 1,2 mG = 26 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
Td = ?

Poros pejal harus meneruskan 100 kW pada 500 rpm tanpa tegangan geser melebihi 50 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 100 kWN = 500 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
12 kN/m60 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

60 kN @ 3 m12 kN/m, 0–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.Gaya geser & momen lenturSulit
5 kN/m20 kN25 kN10 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

20 kN @ 0 m25 kN @ 12 m10 kN @ 6 m5 kN/m, 2–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.Titik berat & momen inersiaSedang
3002512012xdimensi dalam mm

Cari momen inersia Ix penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

bf = 300 mmtf = 25 mmtw = 12 mmhw = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
3001012010xM = 40 kN·mdimensi dalam mm

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 40 kN·m. Cari besar tegangan lentur σatas di tepi atas.

bf = 300 mmtf = 10 mmtw = 10 mmhw = 120 mmM = 40 kN·m
σatas = MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 30σy​ = 60τxy​ = −30MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 30 MPa, σᵧ = 60 MPa, dan τₓᵧ = −30 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τmax.

σx = 30 MPaσy = 60 MPaτxy = −30 MPa
τmax = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = 140σy​ = 0τxy​ = −30MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 140 MPa, σᵧ = 0 MPa, dan τₓᵧ = −30 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σθ pada bidang yang normalnya diputar 30° searah jarum jam dari sumbu x.

σx = 140 MPaσy = 0 MPaτxy = −30 MPaθ = -30°
σθ = MPa
11.Lendutan balokSedang
P = 26 kNABδ1 m5 m

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada a = 1 m dari tumpuan A. Cari lendutan δP di bawah beban.

P = 26 kNa = 1 mL = 6 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 12 kN/mδL = 3 m

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil Ireq yang memenuhi batas ini.

w = 12 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (kayu struktural)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolomSedang
PL = 6 md = 60 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
P = 40 kNL = 5 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Kolom harus menahan 40 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 40 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (baja)
d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 1741 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 35·1000/201,1 = 174,1 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for kuningan = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 174,1/100000 = 0,001741 = 1741 µε

Jawaban

ε = 1741 µε
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σmax = 221 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 35,37 MPa
σ2 = 221 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σmax = 221 MPa

Jawaban

σmax = 221 MPa
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 1,077 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1200/(26000·613592) = 0,0188 rad
φ = 0,0188·180/π = 1,077°

Jawaban

φ = 1,077°
4.Torsi poros

Jawaban: d = 57,94 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s
T = P/ω = 100000/52,36 = 1910 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·1,91 × 10⁶/(π·50)) = 57,94 mm

Jawaban

d = 57,94 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: D (x = 3 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 66 kN, R2 = 66 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 60, MC = 108, MD = 144 kN·m, ME = 108, MF = 60, MG = 0

Jawaban

Tanda D: MD = 144 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: F (x = 10 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 43,75 kN, R2 = 51,25 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = −40, MC = −2,5, MD = 15, ME = −7,5, MF = −50 kN·m, MG = 0

Jawaban

Tanda F: MF = −50 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 8,468 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 300·25 = 7500 mm², yf = 120 + 25/2 = 132,5 mm
badan: Aw = 12·120 = 1440 mm², yw = 120/2 = 60 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (7500·132,5 + 1440·60)/8940 = 120,8 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 300·25³/12 + 7500·(132,5 − 120,8)² = 1,413 × 10⁶ mm⁴
badan: 12·120³/12 + 1440·(60 − 120,8)² = 7,055 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1,413 × 10⁶ + 7,055 × 10⁶ = 8,468 × 10⁶ mm⁴ = 8,468 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 8,468 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σatas = 185,4 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 300·10 = 3000 mm², yf = 120 + 10/2 = 125 mm
badan: Aw = 10·120 = 1200 mm², yw = 120/2 = 60 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3000·125 + 1200·60)/4200 = 106,4 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 300·10³/12 + 3000·(125 − 106,4)² = 1,06 × 10⁶ mm⁴
badan: 10·120³/12 + 1200·(60 − 106,4)² = 4,027 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1,06 × 10⁶ + 4,027 × 10⁶ = 5,086 × 10⁶ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi atas berjarak h − ȳ dari sumbu.

y = 130 − 106,4 = 23,57 mm
σ = M·y/I = 4 × 10⁷·23,57/5,086 × 10⁶ = 185,4 MPa

Jawaban

σatas = 185,4 MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τmax = 33,54 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCτmax​

Jari-jari lingkaran Mohr

τmax = R = √(((30 − 60)/2)² + −30²) = 33,54 MPa

Jawaban

τmax = 33,54 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σθ = 131 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

σθ = 70 + 70·0,5 + −30·−0,866 = 131 MPa

Jawaban

σθ = 131 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δP = 20,52 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 26000 N, a = 1000 mm, b = 5000 mm, L = 6000 mm
EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Lendutan di bawah beban

δP = Pa²b²/(3EIL) = 26000·1000²·5000²/(3·1,76 × 10¹²·6000) = 20,52 mm

Jawaban

δP = 20,52 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: Ireq = 138,1 × 10⁶ mm⁴

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Batas lendutan

δallow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·3000⁴/(384·11000·8,333) = 1,381 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 138,1 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ireq = 138,1 × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 12,21 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·6000 = 6000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/6000² = 12209 N = 12,21 kN

Jawaban

Pcr = 12,21 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 47,66 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 2·40000 = 80000 N
KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·80000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 47,66 mm

Jawaban

d = 47,66 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 209,8, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials