Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 12 mmTembaga1,5 mP = 60 kN

Cari pertambahan panjang δ batang tembaga akibat beban aksial.

P = 60 kNd = 12 mmL = 1,5 mE = 117 GPa
δ = mm
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 30 mmTembaga1 mØ 16 mmKuningan0,5 mP = 120 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σmax pada batang.

P = 120 kNsegmen 1: Ø30 mm, 1 m, tembaga (E = 117 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 0,5 m, kuningan (E = 100 GPa)
σmax = MPa
3.Torsi porosSedang
T = 400 N·md = 25 mmL = 1,2 mφ = ?

Poros pejal baja dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 400 N·md = 25 mmL = 1,2 mG = 80 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
Td = ?

Poros pejal harus meneruskan 10 kW pada 1800 rpm tanpa tegangan geser melebihi 80 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 10 kWN = 1800 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
w = 6 kN/mABpotongan4,5 m5,5 m

Cari gaya geser Vx pada potongan x = 4,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 10 mw = 6 kN/m dari 0 sampai 10 mx = 4,5 m
Vx = kN
6.Gaya geser & momen lenturSulit
15 kN60 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

15 kN @ 12 m60 kN @ 8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.Titik berat & momen inersiaSedang
3002528018xdimensi dalam mm

Cari momen inersia Ix penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

bf = 300 mmtf = 25 mmtw = 18 mmhw = 280 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
2203022010xM = 50 kN·mdimensi dalam mm

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 50 kN·m. Cari tegangan lentur σbawah di tepi bawah.

bf = 220 mmtf = 30 mmtw = 10 mmhw = 220 mmM = 50 kN·m
σbawah = MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 100σy​ = 90τxy​ = 30MPa

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 100 MPa, σᵧ = 90 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa, dengan σz = 0. Cari tegangan geser maksimum absolut τabs di titik itu (dengan meninjau semua bidang dalam tiga dimensi).

σx = 100 MPaσy = 90 MPaτxy = 30 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = −10σy​ = −10τxy​ = 10MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −10 MPa, σᵧ = −10 MPa, dan τₓᵧ = 10 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser τθ pada bidang yang normalnya diputar 20° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x (positif dengan arah yang sama seperti τₓᵧ).

σx = −10 MPaσy = −10 MPaτxy = 10 MPaθ = 20°
τθ = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 2 kN/mABθ6 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari kemiringan θA balok di tumpuan A, dalam radian.

w = 2 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 84 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.Lendutan balokSulit
P = 26 kNABδ6 m2 m

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada b = 2 m dari tumpuan B. Cari lendutan δmid di tengah bentang.

P = 26 kNb = 2 mL = 8 mE = 70 GPa (aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
13.Tekuk kolomSedang
PL = 4 md = 50 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 1,5 md = 30 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)d = 30 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 6,801 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ = P/A = 60·1000/113,1 = 530,5 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for tembaga = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 530,5/117000 = 0,004534 = 4534 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,004534·1500 mm = 6,801 mm

Jawaban

δ = 6,801 mm
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σmax = 596,8 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 169,8 MPa
σ2 = 596,8 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σmax = 596,8 MPa

Jawaban

σmax = 596,8 MPa
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 8,964 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1200/(80000·38350) = 0,1565 rad
φ = 0,1565·180/π = 8,964°

Jawaban

φ = 8,964°
4.Torsi poros

Jawaban: d = 15 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s
T = P/ω = 10000/188,5 = 53,05 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·53052/(π·80)) = 15 mm

Jawaban

d = 15 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Vx = 3 kN

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, bekerja di x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 6·10·5
RB = 300/10 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 30 = 30 kN
w = 6 kN/mABRA​ = 30RB​ = 30potongan4,5 m5,5 m

Potong di x = 4,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

V = RA − (semua beban ke bawah di kiri potongan)
Vx = 30 − 6·4,5 = 3 kN

Jawaban

Vx = 3 kN
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: E (x = 8 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 9 kN, R2 = 66 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 18, MC = 36, MD = 54, ME = 72 kN·m, MF = −30, MG = 0

Jawaban

Tanda E: ME = 72 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 103,4 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 300·25 = 7500 mm², yf = 280 + 25/2 = 292,5 mm
badan: Aw = 18·280 = 5040 mm², yw = 280/2 = 140 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (7500·292,5 + 5040·140)/12540 = 231,2 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 300·25³/12 + 7500·(292,5 − 231,2)² = 2,857 × 10⁷ mm⁴
badan: 18·280³/12 + 5040·(140 − 231,2)² = 7,486 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2,857 × 10⁷ + 7,486 × 10⁷ = 1,034 × 10⁸ mm⁴ = 103,4 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 103,4 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σbawah = 289,8 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 220·30 = 6600 mm², yf = 220 + 30/2 = 235 mm
badan: Aw = 10·220 = 2200 mm², yw = 220/2 = 110 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (6600·235 + 2200·110)/8800 = 203,8 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 220·30³/12 + 6600·(235 − 203,8)² = 6,94 × 10⁶ mm⁴
badan: 10·220³/12 + 2200·(110 − 203,8)² = 2,821 × 10⁷ mm⁴
Ix = 6,94 × 10⁶ + 2,821 × 10⁷ = 3,515 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi bawah berjarak ȳ dari sumbu.

y = 203,8 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁷·203,8/3,515 × 10⁷ = 289,8 MPa

Jawaban

σbawah = 289,8 MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τabs = 62,71 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Dalam tiga dimensi, tegangan geser maksimum absolut adalah (σmax − σmin)/2 dari ketiga tegangan utama; pada tegangan bidang tegangan utama ketiga bernilai nol.

σxyCσ1​σ2​

Tegangan utama sebidang

C = 95 MPa, R = √(5² + 30²) = 30,41 MPa
σ1 = 125,4 MPa, σ2 = 64,59 MPa, σz = 0

Lingkaran terbesar dari ketiganya

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(60,83, 125,4, 64,59)/2 = 62,71 MPa

Jawaban

τabs = 62,71 MPa

Di sini lingkaran di luar bidang yang menentukan: maksimum absolutnya lebih besar daripada maksimum sebidang R.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τθ = 7,66 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

τθ = −0·0,6428 + 10·0,766 = 7,66 MPa

Jawaban

τθ = 7,66 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: θA = 0,01948 rad

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi). Kemiringan θ = dv/dx adalah integral pertama dari M/(EI); dengan satuan yang konsisten hasilnya dalam radian.

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 6000 mm
EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Kemiringan ujung

θA = wL³/(24EI) = 2·6000³/(24·9,24 × 10¹¹) = 0,01948 rad

Jawaban

θA = 0,01948 rad

Itu sama dengan 1,116°.

12.Lendutan balok

Jawaban: δmid = 22,7 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 26000 N, b = 2000 mm, L = 8000 mm
EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Lendutan tengah bentang

δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 26000·2000·(3·8000² − 4·2000²)/(48·8,4 × 10¹²) = 22,7 mm

Jawaban

δmid = 22,7 mm
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 13,25 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·4000 = 4000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/4000² = 13247 N = 13,25 kN

Jawaban

Pcr = 13,25 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 100,7 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 0,7·1500 = 1050 mm
KL/r = 1050/7,5 = 140

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/140² = 100,7 MPa

Jawaban

σcr = 100,7 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials