Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 12 mmTembaga2 mP = 45 kN

Cari regangan aksial ε pada batang tembaga, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 45 kNd = 12 mmL = 2 mE = 117 GPa
ε = µε
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 25 mmBaja2 mØ 20 mmAluminium1,5 mP = 35 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 35 kNsegmen 1: Ø25 mm, 2 m, baja (E = 200 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)
δ = mm
3.Torsi porosSedang
d = 12 mmT = 50 N·m250 mmφ = 9,02°

Dalam uji torsi, spesimen pejal berdiameter 12 mm dipuntir oleh torsi 50 N·m. Kedua ujung panjang ukur 250 mm berputar 9,02° relatif satu sama lain (bahan masih elastis). Cari modulus geser G bahan.

T = 50 N·md = 12 mmL = 250 mmφ = 9,02°
G = GPa
4.Torsi porosSulit
Td = ?

Poros pejal harus meneruskan 20 kW pada 1500 rpm tanpa tegangan geser melebihi 40 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 20 kWN = 1500 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
w = 12 kN/mABpotongan6,5 m1,5 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 6,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 8 mw = 12 kN/m dari 0 sampai 8 mx = 6,5 m
Mx = kN·m
6.Gaya geser & momen lenturSulit
30 kN25 kN60 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

30 kN @ 0 m25 kN @ 12 m60 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.Titik berat & momen inersiaSedang
280130t = 20xdimensi dalam mm

Profil kanal diletakkan dengan sisi terbuka ke atas: pelat dasar selebar 280 mm dengan dua kaki tegak, setinggi total 130 mm. Dasar dan kaki semuanya setebal 20 mm. Cari momen inersianya Ix terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

b = 280 mmh = 130 mmt = 20 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
150 mm150 mm105 mm40 × 20xIx​ = ?

Sebuah pelat 150 mm × 150 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 40 mm dan setinggi 20 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 105 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 150 mmh = 150 mmpotongan: 40 × 20 mmpusat lubang: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = −20σy​ = 70τxy​ = −20MPa

Suatu titik memiliki σₓ = −20 MPa, σᵧ = 70 MPa, dan τₓᵧ = −20 MPa (tarik positif). Cari sudut θs, antara −90° dan 90°, dari sumbu x ke normal bidang tempat tegangan geser mencapai nilai positif maksimumnya +R (geser positif searah dengan τₓᵧ).

σx = −20 MPaσy = 70 MPaτxy = −20 MPa
θs = °
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​τxy​permukaan atas poros

Poros pejal berdiameter 25 mm menahan momen lentur sebesar 200 N·m bersama torsi 1000 N·m. Di permukaan atas, tempat tegangan lentur bersifat tarik dan paling besar, cari tegangan utama terbesar σ1.

d = 25 mmM = 200 N·mT = 1000 N·m
σ1 = MPa
11.Lendutan balokSedang
P = 27 kNABδ1 m1 m

Kantilever sepanjang L dijepit di A dan menahan beban terpusat P pada jarak a = 1 m dari A. Cari lendutan δB di ujung bebas B.

P = 27 kNa = 1 mL = 2 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 15 kN/mδL = 6 m

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil Ireq yang memenuhi batas ini.

w = 15 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolomSedang
PL = 5 m50 × 80 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 5 mE = 200 GPa (baja)b × h = 50 × 80 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 2 md = 40 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (baja)d = 40 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 3401 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ = P/A = 45·1000/113,1 = 397,9 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for tembaga = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 397,9/117000 = 0,003401 = 3401 µε

Jawaban

ε = 3401 µε
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 3,1 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 71,3 MPa
σ2 = 111,4 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ1 = σ1L1/E1 = 71,3·2000/200000 = 0,713 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 111,4·1500/70000 = 2,387 mm
δ = δ1 + δ2 = 3,1 mm

Jawaban

δ = 3,1 mm
3.Torsi poros

Jawaban: G = 39 GPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar dan sudut

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴
φ = 9,02·π/180 = 0,1574 rad

Modulus geser

T = 50 N·m = 50000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 50000·250/(2036·0,1574) = 39003 MPa
G = 39 GPa

Jawaban

G = 39 GPa

Bandingkan: baja ≈ 80 GPa, kuningan ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsi poros

Jawaban: d = 25,31 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T = P/ω = 20000/157,1 = 127,3 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·127324/(π·40)) = 25,31 mm

Jawaban

d = 25,31 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 58,5 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, bekerja di x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 12·8·4
RB = 384/8 = 48 kN
ΣFy = 0: RA = 96 − 48 = 48 kN
w = 12 kN/mABRA​ = 48RB​ = 48potongan6,5 m1,5 m

Potong di x = 6,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 48·6,5 − 12·6,5·3,25 = 58,5 kN·m

Jawaban

Mx = 58,5 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: B (x = 2 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 76,25 kN, R2 = 38,75 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = −60 kN·m, MC = 32,5, MD = 5, ME = −22,5, MF = −50, MG = 0

Jawaban

Tanda B: MB = −60 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 15,03 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi persegi panjang

Ambil dasar selebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), sehingga tidak ada yang terhitung dua kali.

basis: A1 = 280·20 = 5600 mm², y1 = 10 mm
dua kaki: A2 = 2·20·110 = 4400 mm², y2 = 20 + 110/2 = 75 mm

Titik berat

ȳ = (5600·10 + 4400·75)/10000 = 38,6 mm

Teorema sumbu sejajar

basis: 280·20³/12 + 5600·(10 − 38,6)² = 4,767 × 10⁶ mm⁴
dua kaki: 2·20·110³/12 + 4400·(75 − 38,6)² = 1,027 × 10⁷ mm⁴
Ix = 4,767 × 10⁶ + 1,027 × 10⁷
Ix = 1,503 × 10⁷ mm⁴ = 15,03 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 15,03 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 41,41 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (22500·75 − 800·105)/(22500 − 800) = 73,89 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

150·150³/12 + 22500·1,106² = 42,22 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

40·20³/12 + 800·31,11² = 0,8007 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 41,41 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 41,41 × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θs = 56,98 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCτmax​

Sudut pada lingkaran

Pada lingkaran Mohr titik puncak (+R) berjarak 90° dari titik utama σ₁; pada elemen itu sama dengan 45°.

cos 2θs = −20/49,24 = −0,4061, sin 2θs = −(−45)/49,24 = 0,9138
2θs = atan2(45, −20) = 114°

Sudut pada elemen

θs = 56,98°
periksa: θs − θp = 56,98 − (−78,02) = 135°

Jawaban

θs = 56,98°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ1 = 397,6 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Tegangan di permukaan

σ = 32M/(πd³) = 32·200000/(π·25³) = 130,4 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·25³) = 325,9 MPa
στxyCσ1​σ2​

Lingkaran Mohr

C = σ/2 = 65,19 MPa
R = √(65,19² + 325,9²) = 332,4 MPa
σ1 = C + R = 397,6 MPa
σ2 = C − R = −267,2 MPa

Jawaban

σ1 = 397,6 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δB = 13,98 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 27000 N, a = 1000 mm, L = 2000 mm
EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Lendutan di ujung bebas

Lendutan di titik beban ditambah kemiringan di titik beban dikali sisa panjang.

δP = Pa³/(3EI) = 5,59 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,008385 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 13,98 mm

Jawaban

δB = 13,98 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: Ireq = 217 × 10⁶ mm⁴

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Batas lendutan

δallow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·6000⁴/(384·70000·16,67) = 2,17 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 217 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ireq = 217 × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 134,3 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/3500² = 134280 N = 134,3 kN

Jawaban

Pcr = 134,3 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 12,34 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 2·2000 = 4000 mm
KL/r = 4000/10 = 400

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Jawaban

σcr = 12,34 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials