Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 30 mmKuningan2 mP = 65 kN

Cari regangan aksial ε pada batang kuningan, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 65 kNd = 30 mmL = 2 mE = 100 GPa
ε = µε
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 35 mmTembaga0,5 mØ 16 mmBaja0,5 mP = 20 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 20 kNsegmen 1: Ø35 mm, 0,5 m, tembaga (E = 117 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 0,5 m, baja (E = 200 GPa)
δ = mm
3.Torsi porosSedang
do​ = ?T = 400 N·m

Poros berongga harus menahan torsi 400 N·m. Diameter dalamnya ditetapkan 0,5 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 80 MPa. Cari diameter luar terkecil do.

T = 400 N·mdi/do = 0,5τallow = 80 MPa
do = mm
4.Torsi porosSulit
d = 60 mmT0​ = 100 N·mACBa = 1 mb = 2 m

Poros kuningan pejal berdiameter 60 mm dijepit pada dinding kaku di kedua ujung A dan B. Torsi 100 N·m diberikan di C, 1 m dari A dan 2 m dari B. Cari torsi reaksi TA di dinding A.

d = 60 mmT0 = 100 N·ma = 1 mb = 2 m
TA = N·m
5.Gaya geser & momen lenturSedang
50 kN15 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

50 kN @ 10 m15 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 4 kN/mP = 30 kNAB1 m7 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang dan beban terpusat P. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.

L = 8 mP = 30 kN di 1 mw = 4 kN/m dari 0 sampai 8 m
Mmax = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
2203024014xdimensi dalam mm

Cari momen inersia Ix penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

bf = 220 mmtf = 30 mmtw = 14 mmhw = 240 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
110180161701612xdimensi dalam mm

Profil I las memiliki sayap atas 110 × 16 mm, badan setinggi 170 mm dan setebal 12 mm, dan sayap bawah 180 × 16 mm (lebar × tebal). Cari momen inersianya Ix terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

sayap atas: 110 × 16 mmbadan: 12 × 170 mmsayap bawah: 180 × 16 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 160τxy​ = −30MPa

Suatu titik memiliki σₓ = 160 MPa, σᵧ = 0 MPa, dan τₓᵧ = −30 MPa (tarik positif). Cari sudut θs, antara −90° dan 90°, dari sumbu x ke normal bidang tempat tegangan geser mencapai nilai positif maksimumnya +R (geser positif searah dengan τₓᵧ).

σx = 160 MPaσy = 0 MPaτxy = −30 MPa
θs = °
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = −20σy​ = 120τxy​ = 60MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −20 MPa, σᵧ = 120 MPa, dan τₓᵧ = 60 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser τθ pada bidang yang normalnya diputar 30° searah jarum jam dari sumbu x (positif dengan arah yang sama seperti τₓᵧ).

σx = −20 MPaσy = 120 MPaτxy = 60 MPaθ = -30°
τθ = MPa
11.Lendutan balokSedang
P = 28 kNABδ1,5 m3,5 m

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada a = 1,5 m dari tumpuan A. Cari lendutan δP di bawah beban.

P = 28 kNa = 1,5 mL = 5 mE = 200 GPa (baja)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Lendutan balokSulit
P = 2 kNABδ5 m3 m

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada b = 3 m dari tumpuan B. Cari lendutan maksimum δmax balok.

P = 2 kNb = 3 mL = 8 mE = 200 GPa (baja)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Tekuk kolomSedang
PL = 1 m30 × 50 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 1 mE = 200 GPa (baja)b × h = 30 × 50 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 1 md = 60 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 919,6 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 65·1000/706,9 = 91,96 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for kuningan = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 91,96/100000 = 0,0009196 = 919,6 µε

Jawaban

ε = 919,6 µε
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,3375 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 20,79 MPa
σ2 = 99,47 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ1 = σ1L1/E1 = 20,79·500/117000 = 0,08884 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 99,47·500/200000 = 0,2487 mm
δ = δ1 + δ2 = 0,3375 mm

Jawaban

δ = 0,3375 mm
3.Torsi poros

Jawaban: do = 30,06 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Diameter luar dari tegangan izin

T = 400 N·m = 400000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·400000/(π·80·0,9375)) = 30,06 mm
di = 0,5·30,06 = 15,03 mm

Jawaban

do = 30,06 mm

Poros pejal memerlukan d = 29,42 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

4.Torsi poros

Jawaban: TA = 66,67 N·m

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω. Jika kedua ujung dijepit, statika saja hanya memberi TA + TB = T₀; persamaan kedua adalah kompatibilitas (puntiran kedua bagian sama di penampang yang dibebani).

Kesetimbangan dan kompatibilitas

TA + TB = 100
TA·a = TB·b
TA = 100·2/3 = 66,67 N·m
TB = 100·1/3 = 33,33 N·m

Jawaban

TA = 66,67 N·m
5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: F (x = 10 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 18,33 kN, R2 = 46,67 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 36,67, MC = 73,33, MD = 80, ME = 86,67, MF = 93,33 kN·m, MG = 0

Jawaban

Tanda F: MF = 93,33 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 48,76 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, bekerja di x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 30·1 + 4·8·4
RB = 158/8 = 19,75 kN
ΣFy = 0: RA = 62 − 19,75 = 42,25 kN

Di mana V = 0?

RA − P − w·x0 = 0 → x0 = (42,25 − 30)/4 = 3,063 m

Momen maksimum

Mmax = RA·x0 − P·(x0 − 1) − w·x0²/2 = 48,76 kN·m

Jawaban

Mmax = 48,76 kN·m

Terjadi di x = 3,063 m dari A.

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 57,2 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 220·30 = 6600 mm², yf = 240 + 30/2 = 255 mm
badan: Aw = 14·240 = 3360 mm², yw = 240/2 = 120 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (6600·255 + 3360·120)/9960 = 209,5 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 220·30³/12 + 6600·(255 − 209,5)² = 1,418 × 10⁷ mm⁴
badan: 14·240³/12 + 3360·(120 − 209,5)² = 4,302 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,418 × 10⁷ + 4,302 × 10⁷ = 5,72 × 10⁷ mm⁴ = 57,2 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 57,2 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 43,52 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi tiga persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap atas: A = 1760 mm², y = 194 mm
badan: A = 2040 mm², y = 101 mm
sayap bawah: A = 2880 mm², y = 8 mm

Titik berat

ȳ = (1760·194 + 2040·101 + 2880·8)/6680 = 85,41 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap atas: 110·16³/12 + 1760·108,6² = 2,079 × 10⁷ mm⁴
badan: 12·170³/12 + 2040·15,59² = 5,409 × 10⁶ mm⁴
sayap bawah: 180·16³/12 + 2880·77,41² = 1,732 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2,079 × 10⁷ + 5,409 × 10⁶ + 1,732 × 10⁷
Ix = 4,352 × 10⁷ mm⁴ = 43,52 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 43,52 × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θs = −55,28 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCτmax​

Sudut pada lingkaran

Pada lingkaran Mohr titik puncak (+R) berjarak 90° dari titik utama σ₁; pada elemen itu sama dengan 45°.

cos 2θs = −30/85,44 = −0,3511, sin 2θs = −80/85,44 = −0,9363
2θs = atan2(−80, −30) = −110,6°

Sudut pada elemen

θs = −55,28°
periksa: θs − θp = −55,28 − (−10,28) = −45°

Jawaban

θs = −55,28°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τθ = −30,62 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

τθ = −−70·−0,866 + 60·0,5 = −30,62 MPa

Jawaban

τθ = −30,62 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δP = 21,44 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 28000 N, a = 1500 mm, b = 3500 mm, L = 5000 mm
EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Lendutan di bawah beban

δP = Pa²b²/(3EIL) = 28000·1500²·3500²/(3·2,4 × 10¹²·5000) = 21,44 mm

Jawaban

δP = 21,44 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 2,726 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 2000 N, b = 3000 mm, L = 8000 mm
EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Letak maksimum

Menyamakan kemiringan pada segmen yang lebih panjang dengan nol memberi letaknya.

x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 3000²)/3) = 4282 mm

Defleksi maksimum

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 2,726 mm

Jawaban

δmax = 2,726 mm
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 222,1 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·1000 = 1000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/1000² = 222066 N = 222,1 kN

Jawaban

Pcr = 222,1 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 38,86 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 2·1000 = 2000 mm
KL/r = 2000/15 = 133,3

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/133,3² = 38,86 MPa

Jawaban

σcr = 38,86 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials