Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 16 mmAluminium2,5 mP = 30 kN

Cari regangan aksial ε pada batang aluminium, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 30 kNd = 16 mmL = 2,5 mE = 70 GPa
ε = µε
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 30 mmKuningan1 mØ 20 mmTembaga1,5 mP = 65 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 65 kNsegmen 1: Ø30 mm, 1 m, kuningan (E = 100 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 1,5 m, tembaga (E = 117 GPa)
δ = mm
3.Torsi porosSedang
do​ = ?T = 200 N·m

Poros berongga harus menahan torsi 200 N·m. Diameter dalamnya ditetapkan 0,8 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 80 MPa. Cari diameter luar terkecil do.

T = 200 N·mdi/do = 0,8τallow = 80 MPa
do = mm
4.Torsi porosSulit
d = 25 mmTB​ = 1000 N·mTC​ = 200 N·mABC2 m1,5 m

Poros baja pejal berdiameter 25 mm dijepit di A. Torsi 1000 N·m bekerja di B, 2 m dari A, dan torsi 200 N·m dengan arah berlawanan bekerja di ujung bebas C, 1,5 m lebih jauh. Cari tegangan geser maksimum τmax pada poros.

d = 25 mmTB = 1000 N·mTC = 200 N·mAB = 2 mBC = 1,5 m
τmax = MPa
5.Gaya geser & momen lenturSedang
60 kN20 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

60 kN @ 6 m20 kN @ 8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 4 kN/mABC5 m2 m

Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 2 m melewati B hingga ujung bebas C. Beban merata w bekerja di sepanjang A–C. Cari jarak xc dari A ke titik balik lentur di antara tumpuan (tempat momen lentur berganti tanda).

L = 7 mw = 4 kN/m dari 0 sampai 7 mtumpuan di x = 0 dan x = 5 m
xc = m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
1003014012xdimensi dalam mm

Cari momen inersia Ix penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

bf = 100 mmtf = 30 mmtw = 12 mmhw = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
200 mm150 mm45 mm40 × 50xIx​ = ?

Sebuah pelat 200 mm × 150 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 40 mm dan setinggi 50 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 45 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 200 mmh = 150 mmpotongan: 40 × 50 mmpusat lubang: y = 45 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 40σy​ = 50τxy​ = −10MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 40 MPa, σᵧ = 50 MPa, dan τₓᵧ = −10 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τmax.

σx = 40 MPaσy = 50 MPaτxy = −10 MPa
τmax = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
50°D = 400 mm, t = 5 mm, p = 3 MPap

Tangki silinder berdinding tipis dengan diameter dalam 400 mm dan tebal dinding 5 mm berisi gas bertekanan gauge 3 MPa. Tangki dibuat dari pelat yang dilas sepanjang kampuh heliks bersudut 50° terhadap sumbu silinder. Cari tegangan normal σn yang bekerja tegak lurus kampuh las.

D = 400 mmt = 5 mmp = 3 MPaα = 50°
σn = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 2 kN/mδL = 4 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari lendutan maksimum δmax di tengah bentang.

w = 2 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (baja)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Lendutan balokSulit
P = 22 kNP = 22 kNABδ2 m2 m2 m

Balok sederhana menahan dua beban terpusat P yang sama di titik sepertiga bentang (L/3 dari tiap tumpuan). Dengan superposisi, cari lendutan tengah bentang δmax.

P = 22 kNL = 6 mE = 200 GPa (baja)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Tekuk kolomSedang
PL = 5 m30 × 100 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 100 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 6 md = 40 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (baja)d = 40 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 2132 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 30·1000/201,1 = 149,2 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 149,2/70000 = 0,002132 = 2132 µε

Jawaban

ε = 2132 µε
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 3,572 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 91,96 MPa
σ2 = 206,9 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ1 = σ1L1/E1 = 91,96·1000/100000 = 0,9196 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 206,9·1500/117000 = 2,653 mm
δ = δ1 + δ2 = 3,572 mm

Jawaban

δ = 3,572 mm
3.Torsi poros

Jawaban: do = 27,83 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Diameter luar dari tegangan izin

T = 200 N·m = 200000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·200000/(π·80·0,5904)) = 27,83 mm
di = 0,8·27,83 = 22,27 mm

Jawaban

do = 27,83 mm

Poros pejal memerlukan d = 23,35 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

4.Torsi poros

Jawaban: τmax = 260,8 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi dalam

Arah TC diambil sebagai positif.

TBC = TC = 200 N·m
TAB = TC − TB = 200 − 1000 = −800 N·m

Tegangan geser maksimum

Segmen dengan torsi dalam terbesar memiliki tegangan terbesar (diameter sama).

|T|max = 800 N·m
τmax = 16·800000/(π·25³) = 260,8 MPa

Jawaban

τmax = 260,8 MPa
5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: D (x = 6 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 36,67 kN, R2 = 43,33 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 73,33, MC = 146,7, MD = 220 kN·m, ME = 173,3, MF = 86,67, MG = 0

Jawaban

Tanda D: MD = 220 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: xc = 4,2 m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok, termasuk beban pada overstek.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 4·7 = 28 kN, bekerja di x̄ = 3,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 4·7·3,5
RB = 98/5 = 19,6 kN
ΣFy = 0: RA = 28 − 19,6 = 8,4 kN

Momen nol

Di antara tumpuan, M(x) = RA·x − w·x²/2. Selain di x = 0, momen bernilai nol di x = 2RA/w.

RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·8,4/4 = 4,2 m

Jawaban

xc = 4,2 m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 10,75 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 100·30 = 3000 mm², yf = 140 + 30/2 = 155 mm
badan: Aw = 12·140 = 1680 mm², yw = 140/2 = 70 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3000·155 + 1680·70)/4680 = 124,5 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 100·30³/12 + 3000·(155 − 124,5)² = 3,018 × 10⁶ mm⁴
badan: 12·140³/12 + 1680·(70 − 124,5)² = 7,732 × 10⁶ mm⁴
Ix = 3,018 × 10⁶ + 7,732 × 10⁶ = 1,075 × 10⁷ mm⁴ = 10,75 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 10,75 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 53,9 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (30000·75 − 2000·45)/(30000 − 2000) = 77,14 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

200·150³/12 + 30000·−2,143² = 56,39 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

40·50³/12 + 2000·−32,14² = 2,483 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 53,9 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 53,9 × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τmax = 11,18 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

σxyCτmax​

Jari-jari lingkaran Mohr

τmax = R = √(((40 − 50)/2)² + −10²) = 11,18 MPa

Jawaban

τmax = 11,18 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σn = 84,79 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Silinder berdinding tipis: tegangan keliling σh = pr/t dan tegangan aksial σa = pr/(2t); keduanya adalah tegangan utama pada dinding.

Tegangan dinding

r = 400/2 = 200 mm
σh = pr/t = 3·200/5 = 120 MPa
σa = pr/(2t) = 60 MPa

Transformasikan ke kampuh

Ambil x sepanjang sumbu (σa) dan y mengelilingi keliling (σh). Normal kampuh membentuk 90° − α dengan sumbu.

σn = 60·sin²50° + 120·cos²50° = 84,79 MPa

Jawaban

σn = 84,79 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 1,449 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4000 mm
EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·4000⁴/(384·4,6 × 10¹²) = 1,449 mm

Jawaban

δmax = 1,449 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 5,271 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 22000 N, L = 6000 mm
EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Satu beban di L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2000 mm
δ₁ = 2,635 mm

Jumlahkan kedua beban

δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 5,271 mm

Jawaban

δmax = 5,271 mm
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 24,87 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/2500² = 24871 N = 24,87 kN

Jawaban

Pcr = 24,87 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 21,93 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0,5·6000 = 3000 mm
KL/r = 3000/10 = 300

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21,93 MPa

Jawaban

σcr = 21,93 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials