Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 40 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari tembaga (diameter 30 mm, panjang 200 mm, E = 120 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,3 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: tembaga, Ø30 mm, 200 mm, E = 120 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 70 kNsegmen 1: Ø40 mm, 1,5 m, tembaga (E = 117 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 1 m, tembaga (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torsi porosSedang

Poros aluminium pejal bertingkat dijepit di A. Segmen AB berdiameter 75 mm dan panjang 0,8 m; segmen BC berdiameter 50 mm dan panjang 1,5 m. Torsi 250 N·m bekerja di ujung bebas C. Cari sudut puntir φ_C ujung C, dalam derajat.

T = 250 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 0,8 md₂ = 50 mm, L₂ = 1,5 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Torsi porosSulit

Poros kuningan pejal berdiameter 40 mm dijepit pada dinding kaku di kedua ujung A dan B. Torsi 200 N·m diberikan di C, 2,5 m dari A dan 3 m dari B. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

d = 40 mmT₀ = 200 N·ma = 2,5 mb = 3 m

τ_max = MPa

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Kantilever dijepit di A. Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P pada jarak 1 m dari A. Cari momen lentur M_x pada potongan x = 0,5 m dari tumpuan jepit A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 2 mP = 80 kN di 1 mw = 2 kN/m dari 0 sampai 2 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang dan beban terpusat P. Cari momen lentur maksimum M_max pada balok.

L = 5 mP = 15 kN di 3,5 mw = 4 kN/m dari 0 sampai 5 m

M_max = kN·m

7.Titik berat & momen inersiaSedang

Sebuah pelat 120 mm × 150 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 40 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 105 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 120 mmh = 150 mmd = 40 mmpusat lubang: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersiaSulit

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 30 kN·m. Cari besar tegangan lentur σ_atas di tepi atas.

b_f = 120 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 260 mmM = 30 kN·m

σ_atas = MPa

9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 70 MPa, σᵧ = 110 MPa, dan τₓᵧ = −20 MPa, dengan σ_z = 0. Cari tegangan geser maksimum absolut τ_abs di titik itu (dengan meninjau semua bidang dalam tiga dimensi).

σ_x = 70 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 110 MPa, σᵧ = −10 MPa, dan τₓᵧ = −50 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σ_θ pada bidang yang normalnya diputar 50° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σ_x = 110 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

11.Lendutan balokSedang

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari lendutan maksimum δ_max di tengah bentang.

w = 12 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban merata w dan beban terpusat P di tengah bentang. Dengan superposisi, cari lendutan tengah δ_max.

P = 16 kNw = 20 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (baja)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 69,01 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 706,9 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1,989 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(120000·706,9) = 2,358 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,3/4,347 × 10⁻⁶ = 69009 N = 69,01 kN

Jawaban

P = 69,01 kN

2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 2,619 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 55,7 MPa

σ₂ = 222,8 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 55,7·1500/117000 = 0,7142 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 222,8·1000/117000 = 1,904 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,619 mm

Jawaban

δ = 2,619 mm

3.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 1,489 °

Momen inersia polar

J₁ = π·75⁴/32 = 3,106 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Puntiran tiap segmen

T = 250 N·m = 250000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 250000·800/(26000·3,106 × 10⁶) = 0,002476 rad

φ_BC = 250000·1500/(26000·613592) = 0,02351 rad

Puntiran total

φ_C = 0,002476 + 0,02351 = 0,02598 rad = 1,489°

Jawaban

φ_C = 1,489°

4.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 8,681 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω. Jika kedua ujung dijepit, statika saja hanya memberi T_A + T_B = T₀; persamaan kedua adalah kompatibilitas (puntiran kedua bagian sama di penampang yang dibebani).

Kesetimbangan dan kompatibilitas

T_A + T_B = 200

T_A·a = T_B·b

T_A = 200·3/5,5 = 109,1 N·m

T_B = 200·2,5/5,5 = 90,91 N·m

Tegangan geser maksimum

Yang lebih besar dari kedua torsi yang menentukan (diameter sama).

τ_max = 16·109091/(π·40³) = 8,681 MPa

Jawaban

τ_max = 8,681 MPa

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = −42,25 kN·m

Ambil bagian ujung bebas

P: −80·0,5 = −40 kN·m

w: −2·1,5²/2 = −2,25 kN·m

M_x = −40 − 2,25 = −42,25 kN·m

Jawaban

M_x = −42,25 kN·m

Negatif berarti momen negatif: sisi atas tertarik.

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_max = 26,25 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 15·3,5 + 4·5·2,5

R_B = 102,5/5 = 20,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 20,5 = 14,5 kN

Di mana V = 0?

V(3,5⁻) = R_A − w·3,5 = 0,5 kN

V(3,5⁺) = 0,5 − 15 = −14,5 kN

Gaya geser berganti tanda di titik beban, jadi maksimum berada di bawah beban.

Momen maksimum

M_max = R_A·3,5 − w·3,5²/2 = 14,5·3,5 − 4·3,5²/2 = 26,25 kN·m

Jawaban

M_max = 26,25 kN·m

Terjadi di x = 3,5 m dari A.

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 32,41 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki I_c = bh³/12 dan lingkaran I_c = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (18000·75 − 1257·105)/(18000 − 1257) = 72,75 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

120·150³/12 + 18000·2,252² = 33,84 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·40⁴/64 + 1257·32,25² = 1,433 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 32,41 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 32,41 × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σ_atas = 81,48 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 120·10 = 1200 mm², y_f = 260 + 10/2 = 265 mm

badan: A_w = 16·260 = 4160 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1200·265 + 4160·130)/5360 = 160,2 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 120·10³/12 + 1200·(265 − 160,2)² = 1,318 × 10⁷ mm⁴

badan: 16·260³/12 + 4160·(130 − 160,2)² = 2,723 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,318 × 10⁷ + 2,723 × 10⁷ = 4,042 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi atas berjarak h − ȳ dari sumbu.

y = 270 − 160,2 = 109,8 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·109,8/4,042 × 10⁷ = 81,48 MPa

Jawaban

σ_atas = 81,48 MPa

9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_abs = 59,14 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Dalam tiga dimensi, tegangan geser maksimum absolut adalah (σ_max − σ_min)/2 dari ketiga tegangan utama; pada tegangan bidang tegangan utama ketiga bernilai nol.

Tegangan utama sebidang

C = 90 MPa, R = √((−20)² + (−20)²) = 28,28 MPa

σ₁ = 118,3 MPa, σ₂ = 61,72 MPa, σ_z = 0

Lingkaran terbesar dari ketiganya

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(56,57, 118,3, 61,72)/2 = 59,14 MPa

Jawaban

τ_abs = 59,14 MPa

Di sini lingkaran di luar bidang yang menentukan: maksimum absolutnya lebih besar daripada maksimum sebidang R.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_θ = −9,659 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 50 + 60·−0,1736 + −50·0,9848 = −9,659 MPa

Jawaban

σ_θ = −9,659 MPa

11.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 31,96 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 3000 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Lendutan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·3000⁴/(384·3,96 × 10¹¹) = 31,96 mm

Jawaban

δ_max = 31,96 mm

12.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 8,739 mm

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 16000 N, w = 20 N/mm, L = 2500 mm, EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Setiap beban sendiri

δ_P = PL³/(48EI) = 16000·2500³/(48·1,76 × 10¹²) = 2,959 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2500⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 5,78 mm

Jumlahkan

δ_max = 2,959 + 5,78 = 8,739 mm

Jawaban

δ_max = 8,739 mm

13.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 137,3 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2100² = 137322 N = 137,3 kN

Jawaban

P_cr = 137,3 kN

14.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 47,98 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/12,5 = 120

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/120² = 47,98 MPa

Jawaban

σ_cr = 47,98 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials