Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 30 mmTembaga0,5 mP = 60 kN

Cari pertambahan panjang δ batang tembaga akibat beban aksial.

P = 60 kNd = 30 mmL = 0,5 mE = 117 GPa
δ = mm
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 25 mmAluminium2 mØ 12 mmKuningan1,5 mP = 65 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 65 kNsegmen 1: Ø25 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1,5 m, kuningan (E = 100 GPa)
δ = mm
3.Torsi porosSedang
do​ = ?T = 1000 N·m

Poros berongga harus menahan torsi 1000 N·m. Diameter dalamnya ditetapkan 0,7 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 40 MPa. Cari diameter luar terkecil do.

T = 1000 N·mdi/do = 0,7τallow = 40 MPa
do = mm
4.Torsi porosSulit
do​ = ?50 kW, 1800 rpm

Poros berongga harus meneruskan 50 kW pada 1800 rpm. Diameter dalamnya ditetapkan 0,5 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 40 MPa. Cari diameter luar terkecil do.

P = 50 kWN = 1800 rpmdi/do = 0,5τallow = 40 MPa
do = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
P1​ = 70 kNP2​ = 40 kNABC4,5 m1,5 m1 m

Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 1 m melewati B hingga ujung bebas C. Balok menahan beban terpusat P1 di antara tumpuan dan beban terpusat P2 di C. Cari momen lentur Mx di bawah beban P1. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 7 mP1 = 70 kN di 4,5 mP2 = 40 kN di 7 mtumpuan di x = 0 dan x = 6 m
Mx = kN·m
6.Gaya geser & momen lenturSulit
35 kN40 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

35 kN @ 6 m40 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Titik berat & momen inersiaSedang
2503401010xdimensi dalam mm

Profil I simetris memiliki sayap selebar 250 mm dan setebal 10 mm, tinggi total 340 mm, dan badan setebal 10 mm. Cari modulus penampang elastisnya Sx untuk lentur terhadap sumbu titik berat horizontal x.

B = 250 mmH = 340 mmtf = 10 mmtw = 10 mm
Sx = × 10³ mm³
8.Titik berat & momen inersiaSulit
1801510012xM negatifdimensi dalam mm

Balok besi tuang memiliki penampang T seperti pada gambar, dengan sayap di atas. Tegangan izinnya 35 MPa untuk tarik dan 90 MPa untuk tekan. Cari momen lentur negatif terbesar Mallow yang dapat ditahan balok (nyatakan besarnya).

bf = 180 mmtf = 15 mmtw = 12 mmhw = 100 mmσt,allow = 35 MPaσc,allow = 90 MPa
Mallow = kN·m
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 150σy​ = 90τxy​ = −10MPa

Suatu titik memiliki σₓ = 150 MPa, σᵧ = 90 MPa, dan τₓᵧ = −10 MPa (tarik positif). Cari sudut θs, antara −90° dan 90°, dari sumbu x ke normal bidang tempat tegangan geser mencapai nilai positif maksimumnya +R (geser positif searah dengan τₓᵧ).

σx = 150 MPaσy = 90 MPaτxy = −10 MPa
θs = °
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = 150σy​ = 10τxy​ = 30MPa

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 150 MPa, σᵧ = 10 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (σz = 0). Bahan memiliki kekuatan luluh 275 MPa. Cari faktor keamanan n terhadap luluh menurut kriteria Tresca (tegangan geser maksimum).

σx = 150 MPaσy = 10 MPaτxy = 30 MPaσY = 275 MPa
n =
11.Lendutan balokSedang
w = 20 kN/mδL = 4 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari lendutan maksimum δmax di tengah bentang.

w = 20 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Lendutan balokSulit
P = 19 kNABδ3 m1 m

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada b = 1 m dari tumpuan B. Cari lendutan maksimum δmax balok.

P = 19 kNb = 1 mL = 4 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Tekuk kolomSedang
PL = 2,5 md = 50 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)d = 50 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 2 md = 40 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,3627 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 60·1000/706,9 = 84,88 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for tembaga = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 84,88/117000 = 0,0007255 = 725,5 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,0007255·500 mm = 0,3627 mm

Jawaban

δ = 0,3627 mm
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 12,4 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 132,4 MPa
σ2 = 574,7 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ1 = σ1L1/E1 = 132,4·2000/70000 = 3,783 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 574,7·1500/100000 = 8,621 mm
δ = δ1 + δ2 = 12,4 mm

Jawaban

δ = 12,4 mm
3.Torsi poros

Jawaban: do = 55,13 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Diameter luar dari tegangan izin

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1 × 10⁶/(π·40·0,7599)) = 55,13 mm
di = 0,7·55,13 = 38,59 mm

Jawaban

do = 55,13 mm

Poros pejal memerlukan d = 50,31 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

4.Torsi poros

Jawaban: do = 33,03 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s
T = P/ω = 50000/188,5 = 265,3 N·m

Diameter luar dari tegangan izin

T = 265,3 N·m = 265258 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·265258/(π·40·0,9375)) = 33,03 mm
di = 0,5·33,03 = 16,51 mm

Jawaban

do = 33,03 mm

Poros pejal memerlukan d = 32,32 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 48,75 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok. Beban overstek juga memberi momen terhadap A.

ΣMA = 0: RB·6 = 70·4,5 + 40·7
RB = 595/6 = 99,17 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 99,17 = 10,83 kN

Potong di bawah P1 dan ambil bagian kiri

Mx = RA·4,5 = 10,83·4,5 = 48,75 kN·m

Jawaban

Mx = 48,75 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: E (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 2,5 kN, R2 = 72,5 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 2,5, MC = 5, MD = −32,5, ME = −70 kN·m, MF = −35, MG = 0

Jawaban

Tanda E: ME = −70 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Sx = 961,6 × 10³ mm³

Momen inersia penampang: untuk persegi panjang terhadap sumbu titik beratnya sendiri I = bh³/12, dan terhadap alasnya bh³/3 (teorema sumbu sejajar I = Ic + A·d²). Lubang diperhitungkan dengan mengurangkan I-nya, asalkan kedua bagian memakai sumbu yang sama. Modulus penampang elastis adalah S = I/c, dengan c jarak ke serat terluar.

Persegi panjang luar dikurangi dua potongan samping

Kedua potongan bersama-sama selebar (B − tw) dan setinggi hw = H − 2tf, dan memakai sumbu x yang sama.

hw = 340 − 2·10 = 320 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (250·340³ − 240·320³)/12
Ix = 1,635 × 10⁸ mm⁴

Modulus penampang

c = H/2 = 170 mm
Sx = I/c = 1,635 × 10⁸/170
Sx = 961608 mm³ = 961,6 × 10³ mm³

Jawaban

Sx = 961,6 × 10³ mm³
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Mallow = 3,805 kN·m

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Titik berat

ȳ = (2700·107,5 + 1200·50)/3900 = 89,81 mm
tepi atas: c = 115 − 89,81 = 25,19 mm

Momen inersia penampang

I = 180·15³/12 + 2700·17,69² + 12·100³/12 + 1200·39,81² = 3,797 × 10⁶ mm⁴

Momen yang diizinkan tiap tepi

Momen negatif: sisi atas tertarik, sisi bawah tertekan.

tepi atas: M = 35·3,797 × 10⁶/25,19 = 5,276 kN·m
tepi bawah: M = 90·3,797 × 10⁶/89,81 = 3,805 kN·m

Nilai yang menentukan

Mallow = min = 3,805 kN·m (tepi bawah)

Jawaban

Mallow = 3,805 kN·m
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θs = −54,22 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

σxyCτmax​

Sudut pada lingkaran

Pada lingkaran Mohr titik puncak (+R) berjarak 90° dari titik utama σ₁; pada elemen itu sama dengan 45°.

cos 2θs = −10/31,62 = −0,3162, sin 2θs = −30/31,62 = −0,9487
2θs = atan2(−30, −10) = −108,4°

Sudut pada elemen

θs = −54,22°
periksa: θs − θp = −54,22 − (−9,217) = −45°

Jawaban

θs = −54,22°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: n = 1,761

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σY; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Tegangan utama

C = 80 MPa, R = 76,16 MPa
σ1 = 156,2 MPa, σ2 = 3,842 MPa, σ3 = 0

Tresca

σmax − σmin = 156,2 MPa
n = 275/156,2 = 1,761

Jawaban

n = 1,761

n > 1 berarti titik tersebut tidak luluh; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

11.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 26,46 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 4000 mm
EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·4000⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 26,46 mm

Jawaban

δmax = 26,46 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 44,7 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 19000 N, b = 1000 mm, L = 4000 mm
EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Letak maksimum

Menyamakan kemiringan pada segmen yang lebih panjang dengan nol memberi letaknya.

x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1000²)/3) = 2236 mm

Defleksi maksimum

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 44,7 mm

Jawaban

δmax = 44,7 mm
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 387,6 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/1250² = 387578 N = 387,6 kN

Jawaban

Pcr = 387,6 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 4,318 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 2·2000 = 4000 mm
KL/r = 4000/10 = 400

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Jawaban

σcr = 4,318 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials