Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 25 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari kuningan (diameter 30 mm, panjang 400 mm, E = 100 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,25 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuningan, Ø30 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 105 kNsegmen 1: Ø35 mm, 1,5 m, tembaga (E = 117 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 2 m, kuningan (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torsi porosSedang

Dalam uji torsi, spesimen pejal berdiameter 12 mm dipuntir oleh torsi 40 N·m. Kedua ujung panjang ukur 250 mm berputar 7,22° relatif satu sama lain (bahan masih elastis). Cari modulus geser G bahan.

T = 40 N·md = 12 mmL = 250 mmφ = 7,22°

G = GPa

4.Torsi porosSulit

Poros baja pejal meneruskan 10 kW pada 750 rpm. Tegangan geser tidak boleh melebihi 40 MPa dan puntiran tidak boleh melebihi 0,25° per m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua batas.

P = 10 kWN = 750 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Balok sederhana menahan kopel searah jarum jam M₀ = 10 kN·m di x = 2,5 m dari A, tanpa beban lain. Cari momen lentur M_x tepat di kiri kopel. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 4 mM₀ = 10 kN·m searah jarum jam, di 2,5 m

M_x = kN·m

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 0,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 5 mP = 15 kN di 1,5 mw = 6 kN/m dari 0 sampai 5 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

7.Titik berat & momen inersiaSedang

Sebuah pelat 100 mm × 240 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 50 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 156 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 100 mmh = 240 mmd = 50 mmpusat lubang: y = 156 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersiaSulit

Profil I simetris memiliki sayap selebar 120 mm dan setebal 16 mm, tinggi total 380 mm, dan badan setebal 14 mm. Penampang menahan momen lentur sebesar 120 kN·m terhadap sumbu x. Cari besar tegangan lentur σ_j di pertemuan badan dan sayap atas.

B = 120 mmH = 380 mmt_f = 16 mmt_w = 14 mmM = 120 kN·m

σ_j = MPa

9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 40 MPa, σᵧ = 10 MPa, dan τₓᵧ = −40 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_p dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 40 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_p = °

10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 10 MPa, σᵧ = 50 MPa, dan τₓᵧ = −50 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σ_θ pada bidang yang normalnya diputar 50° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σ_x = 10 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

11.Lendutan balokSedang

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada a = 1 m dari tumpuan A. Cari lendutan δ_P di bawah beban.

P = 10 kNa = 1 mL = 8 mE = 70 GPa (aluminium)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Lendutan balokSulit

Kantilever bertopang dijepit di A dan ditumpu sederhana (ditopang) di B. Balok menahan beban terpusat P di tengah bentang. EI konstan. Cari besar momen lentur M_A di ujung jepit.

L = 4 mP = 55 kN di 2 m

M_A = kN·m

13.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (baja)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

14.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Kolom harus menahan 150 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 150 kNn = 2L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 25,69 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490,9) = 4,074 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·706,9) = 5,659 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,25/9,733 × 10⁻⁶ = 25685 N = 25,69 kN

Jawaban

P = 25,69 kN

2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 19,97 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 109,1 MPa

σ₂ = 928,4 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 109,1·1500/117000 = 1,399 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 928,4·2000/100000 = 18,57 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 19,97 mm

Jawaban

δ = 19,97 mm

3.Torsi poros

Jawaban: G = 38,98 GPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar dan sudut

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 7,22·π/180 = 0,126 rad

Modulus geser

T = 40 N·m = 40000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 40000·250/(2036·0,126) = 38982 MPa

G = 38,98 GPa

Jawaban

G = 38,98 GPa

Bandingkan: baja ≈ 80 GPa, kuningan ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsi poros

Jawaban: d = 43,9 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 10000/78,54 = 127,3 N·m

Diameter berdasarkan kekuatan

T = 127,3 N·m = 127324 N·mm

d_τ = ∛(16·127324/(π·40)) = 25,31 mm

Diameter berdasarkan kekakuan

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·127324/(π·80000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 43,9 mm

Diameter yang menentukan

Kedua batas harus terpenuhi, jadi diameter yang lebih besar yang menentukan.

d = max(25,31, 43,9) = 43,9 mm

Jawaban

d = 43,9 mm

Di sini kekakuan yang menentukan.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = −6,25 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Kopel yang bekerja membuat diagram momen lentur melompat sebesar kopel tersebut.

Reaksi tumpuan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam: R_B·L − M₀ = 0. Kesetimbangan vertikal: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 10/4 = 2,5 kN (ke atas)

R_A = −R_B = −2,5 kN (ke bawah)

Potong tepat di kiri kopel

Bagian kiri hanya memuat R_A.

M_x = R_A·a = −2,5·2,5 = −6,25 kN·m

Jawaban

M_x = −6,25 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 12 kN·m

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 15·1,5 + 6·5·2,5

R_B = 97,5/5 = 19,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 19,5 = 25,5 kN

Potong di x = 0,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 25,5·0,5 − 6·0,5·0,25 = 12 kN·m

Jawaban

M_x = 12 kN·m

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 112,1 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki I_c = bh³/12 dan lingkaran I_c = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (24000·120 − 1963·156)/(24000 − 1963) = 116,8 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

100·240³/12 + 24000·3,208² = 115,4 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·50⁴/64 + 1963·39,21² = 3,325 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 112,1 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 112,1 × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σ_j = 118,3 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Persegi panjang luar dikurangi dua potongan samping

Kedua potongan bersama-sama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan memakai sumbu x yang sama.

h_w = 380 − 2·16 = 348 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (120·380³ − 106·348³)/12

I_x = 1,764 × 10⁸ mm⁴

Tegangan lentur

y = 190 − 16 = 174 mm

σ = M·y/I = 1,2 × 10⁸·174/1,764 × 10⁸ = 118,3 MPa

Jawaban

σ_j = 118,3 MPa

9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_p = −34,72 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−40, 40 − 10) = −69,44°

Sudut pada elemen

θ_p = −34,72°

Jawaban

θ_p = −34,72°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_θ = −15,77 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 30 + −20·−0,1736 + −50·0,9848 = −15,77 MPa

Jawaban

σ_θ = −15,77 MPa

11.Lendutan balok

Jawaban: δ_P = 34,31 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 10000 N, a = 1000 mm, b = 7000 mm, L = 8000 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Lendutan di bawah beban

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 10000·1000²·7000²/(3·5,95 × 10¹¹·8000) = 34,31 mm

Jawaban

δ_P = 34,31 mm

12.Lendutan balok

Jawaban: M_A = 41,25 kN·m

Lepaskan topang

Tanpa topang, balok adalah kantilever. Ujung bebasnya akan melendut akibat beban.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Kompatibilitas di topang

Gaya topang R_B sendiri mengangkat ujung bebas sebesar R_BL³/(3EI). Topang menahan B pada lendutan nol, jadi keduanya harus saling meniadakan. EI saling menghapus.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·55/16 = 17,19 kN

Momen di ujung jepit

Momen beban dan gaya topang terhadap A.

M_A = P·L/2 − R_B·L = 110 − 68,75 = 41,25 kN·m

Jawaban

M_A = 41,25 kN·m

13.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 3,655 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·3000 = 6000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/6000² = 3655 N = 3,655 kN

Jawaban

P_cr = 3,655 kN

14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 51,37 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·150000 = 300000 N

KL = 1·1500 = 1500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 51,37 mm

Jawaban

d = 51,37 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 116,8, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials