Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang baja (diameter 25 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari tembaga (diameter luar 100 mm, diameter dalam 60 mm, E = 120 GPa). Keduanya panjangnya 500 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 150 kN. Cari pemendekan δ.

P = 150 kNbatang: Ø25 mm, E = 200 GPatabung: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah segmen baja (diameter 30 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari aluminium (diameter 40 mm, panjang 500 mm, E = 70 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 100 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ₂ pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø40 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

3.Torsi porosSedang

Poros pejal baja dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 200 N·md = 20 mmL = 1,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros berongga harus meneruskan 30 kW pada 300 rpm. Diameter dalamnya ditetapkan 0,7 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 75 MPa. Cari diameter luar terkecil d_o.

P = 30 kWN = 300 rpmd_i/d_o = 0,7τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 2,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 10 mw = 12 kN/m dari 0 sampai 10 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 2 m melewati B hingga ujung bebas C. Beban merata w bekerja di sepanjang A–C. Cari jarak x_c dari A ke titik balik lentur di antara tumpuan (tempat momen lentur berganti tanda).

L = 10 mw = 4 kN/m dari 0 sampai 10 mtumpuan di x = 0 dan x = 8 m

x_c = m

7.Titik berat & momen inersiaSedang

Profil kanal diletakkan dengan sisi terbuka ke atas: pelat dasar selebar 180 mm dengan dua kaki tegak, setinggi total 90 mm. Dasar dan kaki semuanya setebal 10 mm. Cari tinggi ȳ titik berat di atas tepi bawah.

b = 180 mmh = 90 mmt = 10 mm

ȳ = mm

8.Titik berat & momen inersiaSulit

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 15 kN·m. Cari besar tegangan lentur σ_atas di tepi atas.

b_f = 220 mmt_f = 25 mmt_w = 8 mmh_w = 180 mmM = 15 kN·m

σ_atas = MPa

9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = −80 MPa, σᵧ = 0 MPa, dan τₓᵧ = 60 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dan 90°, dari sumbu x ke normal bidang tempat tegangan geser mencapai nilai positif maksimumnya +R (geser positif searah dengan τₓᵧ).

σ_x = −80 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_s = °

10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 110 MPa, σᵧ = 10 MPa, dan τₓᵧ = −10 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser τ_θ pada bidang yang normalnya diputar 50° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x (positif dengan arah yang sama seperti τₓᵧ).

σ_x = 110 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 50°

τ_θ = MPa

11.Lendutan balokSedang

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari kemiringan θ_A balok di tumpuan A, dalam radian.

w = 10 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (baja)I = 120 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil I_req yang memenuhi batas ini.

w = 20 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (baja)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

14.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (baja)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,1069 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·5027 = 7,014 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 150000·500/7,014 × 10⁸ = 0,1069 mm

Jawaban

δ = 0,1069 mm

2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ₂ = 34,02 MPa

Kekakuan

k₁ = 200000·706,9/600 = 235619 N/mm

k₂ = 70000·1257/500 = 175929 N/mm

Bagian segmen 2

F₂ = 100000·175929/411549 = 42748 N

Tegangan

σ₂ = 42748/1257 = 34,02 MPa (tekan)

Jawaban

σ₂ = 34,02 MPa

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 13,68 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1500/(80000·15708) = 0,2387 rad

φ = 0,2387·180/π = 13,68°

Jawaban

φ = 13,68°

4.Torsi poros

Jawaban: d_o = 44,03 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 30000/31,42 = 954,9 N·m

Diameter luar dari tegangan izin

T = 954,9 N·m = 954930 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·954930/(π·75·0,7599)) = 44,03 mm

d_i = 0,7·44,03 = 30,82 mm

Jawaban

d_o = 44,03 mm

Poros pejal memerlukan d = 40,18 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 112,5 kN·m

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, bekerja di x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 12·10·5

R_B = 600/10 = 60 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 60 = 60 kN

Potong di x = 2,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 60·2,5 − 12·2,5·1,25 = 112,5 kN·m

Jawaban

M_x = 112,5 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: x_c = 7,5 m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok, termasuk beban pada overstek.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, bekerja di x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 4·10·5

R_B = 200/8 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 25 = 15 kN

Momen nol

Di antara tumpuan, M(x) = R_A·x − w·x²/2. Selain di x = 0, momen bernilai nol di x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·15/4 = 7,5 m

Jawaban

x_c = 7,5 m

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: ȳ = 26,18 mm

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi persegi panjang

Ambil dasar selebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), sehingga tidak ada yang terhitung dua kali.

basis: A₁ = 180·10 = 1800 mm², y₁ = 5 mm

dua kaki: A₂ = 2·10·80 = 1600 mm², y₂ = 10 + 80/2 = 50 mm

Titik berat

ȳ = (1800·5 + 1600·50)/3400 = 26,18 mm

Jawaban

ȳ = 26,18 mm

8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σ_atas = 31,34 MPa

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 220·25 = 5500 mm², y_f = 180 + 25/2 = 192,5 mm

badan: A_w = 8·180 = 1440 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5500·192,5 + 1440·90)/6940 = 171,2 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 220·25³/12 + 5500·(192,5 − 171,2)² = 2,774 × 10⁶ mm⁴

badan: 8·180³/12 + 1440·(90 − 171,2)² = 1,339 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,774 × 10⁶ + 1,339 × 10⁷ = 1,616 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi atas berjarak h − ȳ dari sumbu.

y = 205 − 171,2 = 33,77 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·33,77/1,616 × 10⁷ = 31,34 MPa

Jawaban

σ_atas = 31,34 MPa

9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_s = 16,85 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Sudut pada lingkaran

Pada lingkaran Mohr titik puncak (+R) berjarak 90° dari titik utama σ₁; pada elemen itu sama dengan 45°.

cos 2θ_s = 60/72,11 = 0,8321, sin 2θ_s = −(−40)/72,11 = 0,5547

2θ_s = atan2(40, 60) = 33,69°

Sudut pada elemen

θ_s = 16,85°

periksa: θ_s − θ_p = 16,85 − 61,85 = −45°

Jawaban

θ_s = 16,85°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_θ = −47,5 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −50·0,9848 + −10·−0,1736 = −47,5 MPa

Jawaban

τ_θ = −47,5 MPa

11.Lendutan balok

Jawaban: θ_A = 0,008889 rad

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi). Kemiringan θ = dv/dx adalah integral pertama dari M/(EI); dengan satuan yang konsisten hasilnya dalam radian.

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 8000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Kemiringan ujung

θ_A = wL³/(24EI) = 10·8000³/(24·2,4 × 10¹³) = 0,008889 rad

Jawaban

θ_A = 0,008889 rad

Itu sama dengan 0,5093°.

12.Lendutan balok

Jawaban: I_req = 20,93 × 10⁶ mm⁴

Batas lendutan

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·20·2500⁴/(384·70000·6,944) = 2,093 × 10⁷ mm⁴

I_req = 20,93 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_req = 20,93 × 10⁶ mm⁴

13.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 5,849 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·3000 = 3000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·26667/3000² = 5849 N = 5,849 kN

Jawaban

P_cr = 5,849 kN

14.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 6,294 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

KL/r = 4200/7,5 = 560

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/560² = 6,294 MPa

Jawaban

σ_cr = 6,294 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials