Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 20 mmKuningan2 mP = 95 kN

Cari regangan aksial ε pada batang kuningan, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 95 kNd = 20 mmL = 2 mE = 100 GPa
ε = µε
2.Tegangan & regangan aksialSulit
100 kN12500 mm400 mmØ20Ø60σ2​ = ?

Sebuah segmen baja (diameter 20 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari perunggu (diameter 60 mm, panjang 400 mm, E = 110 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 100 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ2 pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: perunggu, Ø60 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
3.Torsi porosSedang
T = 100 N·md = 20 mmL = 0,5 mφ = ?

Poros pejal aluminium dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 100 N·md = 20 mmL = 0,5 mG = 26 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
d = 40 mmTB​ = 100 N·mTC​ = 400 N·mABC0,5 m1 m

Poros baja pejal berdiameter 40 mm dijepit di A. Torsi 100 N·m bekerja di B, 0,5 m dari A, dan torsi 400 N·m dengan arah yang sama bekerja di ujung bebas C, 1 m lebih jauh. Cari tegangan geser maksimum τmax pada poros.

d = 40 mmTB = 100 N·mTC = 400 N·mAB = 0,5 mBC = 1 m
τmax = MPa
5.Gaya geser & momen lenturSedang
20 kN40 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

20 kN @ 10 m40 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.Gaya geser & momen lenturSulit
12 kN/m25 kN35 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

25 kN @ 6 m35 kN @ 3 m12 kN/m, 0–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Titik berat & momen inersiaSedang
2401522018xdimensi dalam mm

Cari momen inersia Ix penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

bf = 240 mmtf = 15 mmtw = 18 mmhw = 220 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
220201208xM negatifdimensi dalam mm

Balok besi tuang memiliki penampang T seperti pada gambar, dengan sayap di atas. Tegangan izinnya 50 MPa untuk tarik dan 100 MPa untuk tekan. Cari momen lentur negatif terbesar Mallow yang dapat ditahan balok (nyatakan besarnya).

bf = 220 mmtf = 20 mmtw = 8 mmhw = 120 mmσt,allow = 50 MPaσc,allow = 100 MPa
Mallow = kN·m
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σy​ = 20MPaτxy​ = ?

Suatu titik memiliki σₓ = 0 MPa dan σᵧ = 20 MPa. Seberapa besar tegangan geser τxy (besarnya) dapat meningkat sebelum tegangan utama terbesar mencapai 65 MPa?

σx = 0 MPaσy = 20 MPaσ1 = 65 MPa
τxy = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = 150σy​ = −80τxy​ = −60MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 150 MPa, σᵧ = −80 MPa, dan τₓᵧ = −60 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σθ pada bidang yang normalnya diputar 15° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σx = 150 MPaσy = −80 MPaτxy = −60 MPaθ = 15°
σθ = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 4 kN/mδL = 6 m

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang. Cari lendutan δ di ujung bebas.

w = 4 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 2 kN/mP = 15 kNδL = 4 m

Balok sederhana menahan beban merata w dan beban terpusat P di tengah bentang. Dengan superposisi, cari lendutan tengah δmax.

P = 15 kNw = 2 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Tekuk kolomSedang
PL = 2,5 m25 × 80 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 80 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
P = 145 kNL = 2,5 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Kolom harus menahan 145 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 145 kNn = 2L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)
d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 3024 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 95·1000/314,2 = 302,4 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for kuningan = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 302,4/100000 = 0,003024 = 3024 µε

Jawaban

ε = 3024 µε
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ2 = 30,45 MPa

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·314,2/500 = 125664 N/mm
k₂ = 110000·2827/400 = 777544 N/mm

Bagian segmen 2

F2 = 100000·777544/903208 = 86087 N

Tegangan

σ2 = 86087/2827 = 30,45 MPa (tekan)

Jawaban

σ2 = 30,45 MPa
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 7,015 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 100·1000·500/(26000·15708) = 0,1224 rad
φ = 0,1224·180/π = 7,015°

Jawaban

φ = 7,015°
4.Torsi poros

Jawaban: τmax = 39,79 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi dalam

Arah TC diambil sebagai positif.

TBC = TC = 400 N·m
TAB = TC + TB = 400 + 100 = 500 N·m

Tegangan geser maksimum

Segmen dengan torsi dalam terbesar memiliki tegangan terbesar (diameter sama).

|T|max = 500 N·m
τmax = 16·500000/(π·40³) = 39,79 MPa

Jawaban

τmax = 39,79 MPa
5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: C (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 30 kN, R2 = 30 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 60, MC = 120 kN·m, MD = 100, ME = 80, MF = 60, MG = 0

Jawaban

Tanda C: MC = 120 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: D (x = 3 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 39 kN, R2 = 81 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 33, MC = 54, MD = 63 kN·m, ME = 25, MF = −25, MG = 0

Jawaban

Tanda D: MD = 63 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 42,07 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 240·15 = 3600 mm², yf = 220 + 15/2 = 227,5 mm
badan: Aw = 18·220 = 3960 mm², yw = 220/2 = 110 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3600·227,5 + 3960·110)/7560 = 166 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 240·15³/12 + 3600·(227,5 − 166)² = 1,37 × 10⁷ mm⁴
badan: 18·220³/12 + 3960·(110 − 166)² = 2,837 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,37 × 10⁷ + 2,837 × 10⁷ = 4,207 × 10⁷ mm⁴ = 42,07 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 42,07 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Mallow = 4,393 kN·m

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Titik berat

ȳ = (4400·130 + 960·60)/5360 = 117,5 mm
tepi atas: c = 140 − 117,5 = 22,54 mm

Momen inersia penampang

I = 220·20³/12 + 4400·12,54² + 8·120³/12 + 960·57,46² = 5,16 × 10⁶ mm⁴

Momen yang diizinkan tiap tepi

Momen negatif: sisi atas tertarik, sisi bawah tertekan.

tepi atas: M = 50·5,16 × 10⁶/22,54 = 11,45 kN·m
tepi bawah: M = 100·5,16 × 10⁶/117,5 = 4,393 kN·m

Nilai yang menentukan

Mallow = min = 4,393 kN·m (tepi bawah)

Jawaban

Mallow = 4,393 kN·m
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τxy = 54,08 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari yang diperlukan

C = (0 + 20)/2 = 10 MPa
R = σ1 − C = 65 − 10 = 55 MPa
στxyCσ1​σ2​

Tegangan geser

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(55² − 10²) = 54,08 MPa

Jawaban

τxy = 54,08 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σθ = 104,6 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

σθ = 35 + 115·0,866 + −60·0,5 = 104,6 MPa

Jawaban

σθ = 104,6 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δ = 77,14 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 6000 mm
EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δ = wL⁴/(8EI) = 4·6000⁴/(8·8,4 × 10¹²) = 77,14 mm

Jawaban

δ = 77,14 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 44,82 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 15000 N, w = 2 N/mm, L = 4000 mm, EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Setiap beban sendiri

δP = PL³/(48EI) = 15000·4000³/(48·5,95 × 10¹¹) = 33,61 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·4000⁴/(384·5,95 × 10¹¹) = 11,2 mm

Jumlahkan

δmax = 33,61 + 11,2 = 44,82 mm

Jawaban

δmax = 44,82 mm
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 2,879 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·2500 = 5000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/5000² = 2879 N = 2,879 kN

Jawaban

Pcr = 2,879 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 55,02 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 2·145000 = 290000 N
KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·290000·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 55,02 mm

Jawaban

d = 55,02 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 127,2, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials