Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
150 kNØ30120 GPaØ120/60400 mmδ = ?

Sebuah batang baja (diameter 30 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari tembaga (diameter luar 120 mm, diameter dalam 60 mm, E = 120 GPa). Keduanya panjangnya 400 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 150 kN. Cari pemendekan δ.

P = 150 kNbatang: Ø30 mm, E = 200 GPatabung: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 400 mm
δ = mm
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 40 mmAluminium0,5 mØ 16 mmKuningan2 mP = 110 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 110 kNsegmen 1: Ø40 mm, 0,5 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 2 m, kuningan (E = 100 GPa)
δ = mm
3.Torsi porosSedang
d1​ = 30 mmd2​ = 25 mmT = 100 N·mABC1,5 m0,5 m

Poros aluminium pejal bertingkat dijepit di A. Segmen AB berdiameter 30 mm dan panjang 1,5 m; segmen BC berdiameter 25 mm dan panjang 0,5 m. Torsi 100 N·m bekerja di ujung bebas C. Cari tegangan geser maksimum τmax pada poros.

T = 100 N·md1 = 30 mm, L1 = 1,5 md2 = 25 mm, L2 = 0,5 m
τmax = MPa
4.Torsi porosSulit
Tdo​ = 50 mm, di​ = 30 mm

Poros berongga meneruskan 75 kW pada 1500 rpm. Cari tegangan geser maksimum τmax pada poros.

P = 75 kWN = 1500 rpmdo = 50 mmdi = 30 mm
τmax = MPa
5.Gaya geser & momen lenturSedang
5 kN/m30 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

30 kN @ 3 m5 kN/m, 0–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 2 kN/mP = 40 kNABpotongan4,5 m2,5 m3 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 4,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 10 mP = 40 kN di 7 mw = 2 kN/m dari 0 sampai 10 mx = 4,5 m
Mx = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
100160t = 8ȳ = ?dimensi dalam mm

Profil kanal diletakkan dengan sisi terbuka ke atas: pelat dasar selebar 100 mm dengan dua kaki tegak, setinggi total 160 mm. Dasar dan kaki semuanya setebal 8 mm. Cari tinggi ȳ titik berat di atas tepi bawah.

b = 100 mmh = 160 mmt = 8 mm
ȳ = mm
8.Titik berat & momen inersiaSulit
100 mm200 mm60 mm50 × 30xIx​ = ?

Sebuah pelat 100 mm × 200 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 50 mm dan setinggi 30 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 60 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 100 mmh = 200 mmpotongan: 50 × 30 mmpusat lubang: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 30σy​ = −20τxy​ = 30MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 30 MPa, σᵧ = −20 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (tarik positif). Cari sudut θp dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σx = 30 MPaσy = −20 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
50°D = 1200 mm, t = 5 mm, p = 1 MPap

Tangki silinder berdinding tipis dengan diameter dalam 1200 mm dan tebal dinding 5 mm berisi gas bertekanan gauge 1 MPa. Tangki dibuat dari pelat yang dilas sepanjang kampuh heliks bersudut 50° terhadap sumbu silinder. Cari tegangan normal σn yang bekerja tegak lurus kampuh las.

D = 1200 mmt = 5 mmp = 1 MPaα = 50°
σn = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 5 kN/mP = 16 kNABδ1,5 m

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P di ujung bebasnya. Dengan superposisi, cari lendutan δ di ujung bebas.

P = 16 kNw = 5 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 3 kN/mABδ4,5 m

Balok kayu sederhana berpenampang persegi panjang selebar 125 mm menahan beban merata w di seluruh bentang. Lendutan tengah bentangnya tidak boleh melebihi bentang/300. Cari tinggi terkecil hreq penampang.

w = 3 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (kayu struktural)b = 125 mm
hreq = mm
13.Tekuk kolomSedang
PL = 2 md = 40 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
P = 65 kNL = 1 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 65 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 65 kNn = 3L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,05176 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·8482 = 1,159 × 10⁹ N

Pemendekan

δ = 150000·400/1,159 × 10⁹ = 0,05176 mm

Jawaban

δ = 0,05176 mm
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 11,57 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 87,54 MPa
σ2 = 547,1 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ1 = σ1L1/E1 = 87,54·500/70000 = 0,6253 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 547,1·2000/100000 = 10,94 mm
δ = δ1 + δ2 = 11,57 mm

Jawaban

δ = 11,57 mm
3.Torsi poros

Jawaban: τmax = 32,59 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Tegangan pada tiap segmen

T = 100 N·m = 100000 N·mm
τAB = 16·100000/(π·30³) = 18,86 MPa
τBC = 16·100000/(π·25³) = 32,59 MPa

Jawaban

τmax = 32,59 MPa
4.Torsi poros

Jawaban: τmax = 22,35 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T = P/ω = 75000/157,1 = 477,5 N·m

Momen inersia polar

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

Tegangan geser maksimum

τmax = T·(do/2)/J = 477465·25/534071 = 22,35 MPa

Jawaban

τmax = 22,35 MPa
5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: D (x = 3 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 30 kN, R2 = 30 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 27,5, MC = 50, MD = 67,5 kN·m, ME = 50, MF = 27,5, MG = 0

Jawaban

Tanda D: MD = 67,5 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 78,75 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, bekerja di x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 40·7 + 2·10·5
RB = 380/10 = 38 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 38 = 22 kN
w = 2 kN/mP = 40 kNABRA​ = 22RB​ = 38potongan4,5 m2,5 m3 m

Potong di x = 4,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 22·4,5 − 2·4,5·2,25 = 78,75 kN·m

Jawaban

Mx = 78,75 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: ȳ = 64,2 mm

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi persegi panjang

Ambil dasar selebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), sehingga tidak ada yang terhitung dua kali.

basis: A1 = 100·8 = 800 mm², y1 = 4 mm
dua kaki: A2 = 2·8·152 = 2432 mm², y2 = 8 + 152/2 = 84 mm

Titik berat

ȳ = (800·4 + 2432·84)/3232 = 64,2 mm

Jawaban

ȳ = 64,2 mm
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 63,96 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (20000·100 − 1500·60)/(20000 − 1500) = 103,2 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

100·200³/12 + 20000·−3,243² = 66,88 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

50·30³/12 + 1500·−43,24² = 2,917 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 63,96 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 63,96 × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θp = 25,1 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCσ1​σ2​

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θp = atan2(2·30, 30 − −20) = 50,19°

Sudut pada elemen

θp = 25,1°

Jawaban

θp = 25,1°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σn = 84,79 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Silinder berdinding tipis: tegangan keliling σh = pr/t dan tegangan aksial σa = pr/(2t); keduanya adalah tegangan utama pada dinding.

Tegangan dinding

r = 1200/2 = 600 mm
σh = pr/t = 1·600/5 = 120 MPa
σa = pr/(2t) = 60 MPa

Transformasikan ke kampuh

Ambil x sepanjang sumbu (σa) dan y mengelilingi keliling (σh). Normal kampuh membentuk 90° − α dengan sumbu.

σn = 60·sin²50° + 120·cos²50° = 84,79 MPa

Jawaban

σn = 84,79 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δ = 16,03 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 16000 N, w = 5 N/mm, L = 1500 mm
EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Setiap beban sendiri

δP = PL³/(3EI) = 16000·1500³/(3·1,32 × 10¹²) = 13,64 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 5·1500⁴/(8·1,32 × 10¹²) = 2,397 mm

Jumlahkan

δ = 13,64 + 2,397 = 16,03 mm

Jawaban

δ = 16,03 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: hreq = 210,4 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Batas lendutan

δallow = L/300 = 4500/300 = 15 mm

Momen inersia yang diperlukan

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·3·4500⁴/(384·11000·15) = 9,708 × 10⁷ mm⁴

Tinggi yang diperlukan

bh³/12 = Ireq → h = (12·9,708 × 10⁷/125)1/3 = 210,4 mm

Jawaban

hreq = 210,4 mm

Dalam praktik, pilih tinggi standar berikutnya di atas nilai ini.

13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 21,7 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·2000 = 2000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/2000² = 21704 N = 21,7 kN

Jawaban

Pcr = 21,7 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 69,25 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 3·65000 = 195000 N
KL = 2·1000 = 2000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·195000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 69,25 mm

Jawaban

d = 69,25 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 115,5, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials