Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
80 kNØ30120 GPaØ120/60800 mmδ = ?

Sebuah batang baja (diameter 30 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari tembaga (diameter luar 120 mm, diameter dalam 60 mm, E = 120 GPa). Keduanya panjangnya 800 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 80 kN. Cari pemendekan δ.

P = 80 kNbatang: Ø30 mm, E = 200 GPatabung: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 800 mm
δ = mm
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 25 mmAluminium1 mØ 12 mmKuningan0,5 mP = 115 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σmax pada batang.

P = 115 kNsegmen 1: Ø25 mm, 1 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 0,5 m, kuningan (E = 100 GPa)
σmax = MPa
3.Torsi porosSedang
d = 10 mmT = 30 N·m250 mmφ = 5,47°

Dalam uji torsi, spesimen pejal berdiameter 10 mm dipuntir oleh torsi 30 N·m. Kedua ujung panjang ukur 250 mm berputar 5,47° relatif satu sama lain (bahan masih elastis). Cari modulus geser G bahan.

T = 30 N·md = 10 mmL = 250 mmφ = 5,47°
G = GPa
4.Torsi porosSulit
Tdo​ = 75 mm, di​ = 45 mm

Poros berongga meneruskan 75 kW pada 1000 rpm. Cari tegangan geser maksimum τmax pada poros.

P = 75 kWN = 1000 rpmdo = 75 mmdi = 45 mm
τmax = MPa
5.Gaya geser & momen lenturSedang
20 kN25 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

20 kN @ 2 m25 kN @ 5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 3 kN/mP = 80 kNAB2 m4 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang dan beban terpusat P. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.

L = 6 mP = 80 kN di 2 mw = 3 kN/m dari 0 sampai 6 m
Mmax = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
200 mm150 mm45 mmØ60xIx​ = ?

Sebuah pelat 200 mm × 150 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 60 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 45 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 200 mmh = 150 mmd = 60 mmpusat lubang: y = 45 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
100 mm150 mm60 mm40 × 30xIx​ = ?

Sebuah pelat 100 mm × 150 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 40 mm dan setinggi 30 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 60 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 100 mmh = 150 mmpotongan: 40 × 30 mmpusat lubang: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 120σy​ = 10τxy​ = −30MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 120 MPa, σᵧ = 10 MPa, dan τₓᵧ = −30 MPa (tarik positif). Cari sudut θp dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σx = 120 MPaσy = 10 MPaτxy = −30 MPa
θp = °
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​τxy​permukaan poros

Poros pejal berdiameter 40 mm menahan gaya tekan aksial sebesar 180 kN bersama torsi 400 N·m. Di permukaan poros, cari tegangan geser sebidang maksimum τmax.

d = 40 mmF = −180 kNT = 400 N·m
τmax = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 15 kN/mδL = 3 m

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang. Cari lendutan δ di ujung bebas.

w = 15 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (baja)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Lendutan balokSulit
P = 26 kNABδ2,5 m1,5 m

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada b = 1,5 m dari tumpuan B. Cari lendutan δmid di tengah bentang.

P = 26 kNb = 1,5 mL = 4 mE = 200 GPa (baja)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
13.Tekuk kolomSedang
PL = 1 md = 25 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 1 mE = 200 GPa (baja)d = 25 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
P = 45 kNL = 2 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Kolom harus menahan 45 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 45 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,05521 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·8482 = 1,159 × 10⁹ N

Pemendekan

δ = 80000·800/1,159 × 10⁹ = 0,05521 mm

Jawaban

δ = 0,05521 mm
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σmax = 1017 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 234,3 MPa
σ2 = 1017 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σmax = 1017 MPa

Jawaban

σmax = 1017 MPa
3.Torsi poros

Jawaban: G = 80,02 GPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar dan sudut

J = π·10⁴/32 = 981,7 mm⁴
φ = 5,47·π/180 = 0,09547 rad

Modulus geser

T = 30 N·m = 30000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 30000·250/(981,7·0,09547) = 80020 MPa
G = 80,02 GPa

Jawaban

G = 80,02 GPa

Bandingkan: baja ≈ 80 GPa, kuningan ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsi poros

Jawaban: τmax = 9,933 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 75000/104,7 = 716,2 N·m

Momen inersia polar

J = π(75⁴ − 45⁴)/32 = 2,704 × 10⁶ mm⁴

Tegangan geser maksimum

τmax = T·(do/2)/J = 716197·37,5/2,704 × 10⁶ = 9,933 MPa

Jawaban

τmax = 9,933 MPa
5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: C (x = 2 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 17,5 kN, R2 = 27,5 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 17,5, MC = 35 kN·m, MD = 32,5, ME = 30, MF = 27,5, MG = 0

Jawaban

Tanda C: MC = 35 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 118,7 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, bekerja di x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 80·2 + 3·6·3
RB = 214/6 = 35,67 kN
ΣFy = 0: RA = 98 − 35,67 = 62,33 kN

Di mana V = 0?

V(2⁻) = RA − w·2 = 56,33 kN
V(2⁺) = 56,33 − 80 = −23,67 kN
Gaya geser berganti tanda di titik beban, jadi maksimum berada di bawah beban.

Momen maksimum

Mmax = RA·2 − w·2²/2 = 62,33·2 − 3·2²/2 = 118,7 kN·m

Jawaban

Mmax = 118,7 kN·m

Terjadi di x = 2 m dari A.

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 52,8 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (30000·75 − 2827·45)/(30000 − 2827) = 78,12 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

200·150³/12 + 30000·−3,122² = 56,54 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−33,12² = 3,738 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 52,8 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 52,8 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 27,74 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (15000·75 − 1200·60)/(15000 − 1200) = 76,3 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

100·150³/12 + 15000·−1,304² = 28,15 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

40·30³/12 + 1200·−16,3² = 0,409 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 27,74 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 27,74 × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θp = −14,31 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCσ1​σ2​

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θp = atan2(2·−30, 120 − 10) = −28,61°

Sudut pada elemen

θp = −14,31°

Jawaban

θp = −14,31°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τmax = 78,37 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Tegangan di permukaan

σ = F/A = −180000/(π·40²/4) = −180000/1257 = −143,2 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·40³) = 31,83 MPa
στxyCτmax​

Lingkaran Mohr

C = σ/2 = −71,62 MPa
R = √((−71,62)² + 31,83²) = 78,37 MPa

Jawaban

τmax = 78,37 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δ = 4,746 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 3000 mm
EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Lendutan

δ = wL⁴/(8EI) = 15·3000⁴/(8·3,2 × 10¹³) = 4,746 mm

Jawaban

δ = 4,746 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: δmid = 1,32 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 26000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm
EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Lendutan tengah bentang

δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 26000·1500·(3·4000² − 4·1500²)/(48·2,4 × 10¹³) = 1,32 mm

Jawaban

δmid = 1,32 mm
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 9,462 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·1000 = 2000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/2000² = 9462 N = 9,462 kN

Jawaban

Pcr = 9,462 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 40,36 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 2·45000 = 90000 N
KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·1000²/(π³·70000))^(1/4) = 40,36 mm

Jawaban

d = 40,36 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 99,1, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials