Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 20 mmAluminium2 mP = 35 kN

Cari pertambahan panjang δ batang aluminium akibat beban aksial.

P = 35 kNd = 20 mmL = 2 mE = 70 GPa
δ = mm
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 25 mmBaja0,5 mØ 20 mmBaja1 mP = 70 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σmax pada batang.

P = 70 kNsegmen 1: Ø25 mm, 0,5 m, baja (E = 200 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 1 m, baja (E = 200 GPa)
σmax = MPa
3.Torsi porosSedang
d1​ = 30 mmd2​ = 25 mmT = 250 N·mABC1,2 m0,5 m

Poros baja pejal bertingkat dijepit di A. Segmen AB berdiameter 30 mm dan panjang 1,2 m; segmen BC berdiameter 25 mm dan panjang 0,5 m. Torsi 250 N·m bekerja di ujung bebas C. Cari sudut puntir φC ujung C, dalam derajat.

T = 250 N·md1 = 30 mm, L1 = 1,2 md2 = 25 mm, L2 = 0,5 mG = 80 GPa
φC = °
4.Torsi porosSulit
Td = ?

Poros pejal harus meneruskan 20 kW pada 3000 rpm tanpa tegangan geser melebihi 75 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 20 kWN = 3000 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
w = 8 kN/mABpotongan6,5 m1,5 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 6,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 8 mw = 8 kN/m dari 0 sampai 8 mx = 6,5 m
Mx = kN·m
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 6 kN/mP = 15 kNAB2 m2 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang dan beban terpusat P. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.

L = 4 mP = 15 kN di 2 mw = 6 kN/m dari 0 sampai 4 m
Mmax = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
2203801610xdimensi dalam mm

Profil I simetris memiliki sayap selebar 220 mm dan setebal 16 mm, tinggi total 380 mm, dan badan setebal 10 mm. Cari modulus penampang elastisnya Sx untuk lentur terhadap sumbu titik berat horizontal x.

B = 220 mmH = 380 mmtf = 16 mmtw = 10 mm
Sx = × 10³ mm³
8.Titik berat & momen inersiaSulit
2803030020xM positifdimensi dalam mm

Balok besi tuang memiliki penampang T seperti pada gambar, dengan sayap di atas. Tegangan izinnya 40 MPa untuk tarik dan 100 MPa untuk tekan. Cari momen lentur positif terbesar Mallow yang dapat ditahan balok.

bf = 280 mmtf = 30 mmtw = 20 mmhw = 300 mmσt,allow = 40 MPaσc,allow = 100 MPa
Mallow = kN·m
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = −30σy​ = −10τxy​ = 30MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −30 MPa, σᵧ = −10 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τmax.

σx = −30 MPaσy = −10 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
20°D = 800 mm, t = 10 mm, p = 1 MPap

Tangki silinder berdinding tipis dengan diameter dalam 800 mm dan tebal dinding 10 mm berisi gas bertekanan gauge 1 MPa. Tangki dibuat dari pelat yang dilas sepanjang kampuh heliks bersudut 20° terhadap sumbu silinder. Cari besar tegangan geser |τn| yang bekerja sepanjang kampuh las.

D = 800 mmt = 10 mmp = 1 MPaα = 20°
|τn| = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 15 kN/mABθ6 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari kemiringan θA balok di tumpuan A, dalam radian.

w = 15 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (baja)I = 120 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.Lendutan balokSulit
w = 6 kN/mδL = 1,5 m

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil Ireq yang memenuhi batas ini.

w = 6 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (kayu struktural)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolomSedang
PL = 2 m30 × 40 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 2 mE = 200 GPa (baja)b × h = 30 × 40 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 1,5 md = 60 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)d = 60 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 3,183 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 35·1000/314,2 = 111,4 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 111,4/70000 = 0,001592 = 1592 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,001592·2000 mm = 3,183 mm

Jawaban

δ = 3,183 mm
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σmax = 222,8 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 142,6 MPa
σ2 = 222,8 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σmax = 222,8 MPa

Jawaban

σmax = 222,8 MPa
3.Torsi poros

Jawaban: φC = 5,036 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J1 = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
J2 = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Puntiran tiap segmen

T = 250 N·m = 250000 N·mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 250000·1200/(80000·79522) = 0,04716 rad
φBC = 250000·500/(80000·38350) = 0,04074 rad

Puntiran total

φC = 0,04716 + 0,04074 = 0,0879 rad = 5,036°

Jawaban

φC = 5,036°
4.Torsi poros

Jawaban: d = 16,29 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s
T = P/ω = 20000/314,2 = 63,66 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·63662/(π·75)) = 16,29 mm

Jawaban

d = 16,29 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 39 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, bekerja di x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 8·8·4
RB = 256/8 = 32 kN
ΣFy = 0: RA = 64 − 32 = 32 kN
w = 8 kN/mABRA​ = 32RB​ = 32potongan6,5 m1,5 m

Potong di x = 6,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 32·6,5 − 8·6,5·3,25 = 39 kN·m

Jawaban

Mx = 39 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 27 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, bekerja di x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 15·2 + 6·4·2
RB = 78/4 = 19,5 kN
ΣFy = 0: RA = 39 − 19,5 = 19,5 kN

Di mana V = 0?

V(2⁻) = RA − w·2 = 7,5 kN
V(2⁺) = 7,5 − 15 = −7,5 kN
Gaya geser berganti tanda di titik beban, jadi maksimum berada di bawah beban.

Momen maksimum

Mmax = RA·2 − w·2²/2 = 19,5·2 − 6·2²/2 = 27 kN·m

Jawaban

Mmax = 27 kN·m

Terjadi di x = 2 m dari A.

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Sx = 1413 × 10³ mm³

Momen inersia penampang: untuk persegi panjang terhadap sumbu titik beratnya sendiri I = bh³/12, dan terhadap alasnya bh³/3 (teorema sumbu sejajar I = Ic + A·d²). Lubang diperhitungkan dengan mengurangkan I-nya, asalkan kedua bagian memakai sumbu yang sama. Modulus penampang elastis adalah S = I/c, dengan c jarak ke serat terluar.

Persegi panjang luar dikurangi dua potongan samping

Kedua potongan bersama-sama selebar (B − tw) dan setinggi hw = H − 2tf, dan memakai sumbu x yang sama.

hw = 380 − 2·16 = 348 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (220·380³ − 210·348³)/12
Ix = 2,685 × 10⁸ mm⁴

Modulus penampang

c = H/2 = 190 mm
Sx = I/c = 2,685 × 10⁸/190
Sx = 1,413 × 10⁶ mm³ = 1413 × 10³ mm³

Jawaban

Sx = 1413 × 10³ mm³
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Mallow = 22,89 kN·m

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Titik berat

ȳ = (8400·315 + 6000·150)/14400 = 246,3 mm
tepi atas: c = 330 − 246,3 = 83,75 mm

Momen inersia penampang

I = 280·30³/12 + 8400·68,75² + 20·300³/12 + 6000·96,25² = 1,409 × 10⁸ mm⁴

Momen yang diizinkan tiap tepi

Momen positif: sisi atas tertekan, sisi bawah tertarik.

tepi atas: M = 100·1,409 × 10⁸/83,75 = 168,3 kN·m
tepi bawah: M = 40·1,409 × 10⁸/246,3 = 22,89 kN·m

Nilai yang menentukan

Mallow = min = 22,89 kN·m (tepi bawah)

Jawaban

Mallow = 22,89 kN·m
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τmax = 31,62 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCτmax​

Jari-jari lingkaran Mohr

τmax = R = √(((−30 − −10)/2)² + 30²) = 31,62 MPa

Jawaban

τmax = 31,62 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: |τn| = 6,428 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Silinder berdinding tipis: tegangan keliling σh = pr/t dan tegangan aksial σa = pr/(2t); keduanya adalah tegangan utama pada dinding.

Tegangan dinding

r = 800/2 = 400 mm
σh = pr/t = 1·400/10 = 40 MPa
σa = pr/(2t) = 20 MPa

Transformasikan ke kampuh

Ambil x sepanjang sumbu (σa) dan y mengelilingi keliling (σh). Normal kampuh membentuk 90° − α dengan sumbu.

|τn| = (40 − 20)·sin 20°·cos 20° = 6,428 MPa

Jawaban

|τn| = 6,428 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: θA = 0,005625 rad

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi). Kemiringan θ = dv/dx adalah integral pertama dari M/(EI); dengan satuan yang konsisten hasilnya dalam radian.

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 6000 mm
EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Kemiringan ujung

θA = wL³/(24EI) = 15·6000³/(24·2,4 × 10¹³) = 0,005625 rad

Jawaban

θA = 0,005625 rad

Itu sama dengan 0,3223°.

12.Lendutan balok

Jawaban: Ireq = 8,629 × 10⁶ mm⁴

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Batas lendutan

δallow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·6·1500⁴/(384·11000·4,167) = 8,629 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 8,629 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ireq = 8,629 × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 90,64 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/1400² = 90639 N = 90,64 kN

Jawaban

Pcr = 90,64 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 197,4 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 1·1500 = 1500 mm
KL/r = 1500/15 = 100

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197,4 MPa

Jawaban

σcr = 197,4 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials