Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 20 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari tembaga (diameter 50 mm, panjang 400 mm, E = 120 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,25 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: tembaga, Ø50 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σ_max pada batang.

P = 70 kNsegmen 1: Ø25 mm, 0,5 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsi porosSedang

Poros pejal baja dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 400 N·md = 25 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros kuningan pejal berdiameter 60 mm dijepit di A. Torsi 750 N·m bekerja di B, 2,5 m dari A, dan torsi 100 N·m dengan arah yang sama bekerja di ujung bebas C, 0,8 m lebih jauh. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

d = 60 mmT_B = 750 N·mT_C = 100 N·mAB = 2,5 mBC = 0,8 m

τ_max = MPa

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

60 kN @ 4 m4 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

35 kN @ 0 m20 kN @ 6 m45 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Titik berat & momen inersiaSedang

Cari momen inersia I_x penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

b_f = 180 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersiaSulit

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 10 kN·m. Cari besar tegangan lentur σ_atas di tepi atas.

b_f = 140 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 160 mmM = 10 kN·m

σ_atas = MPa

9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = 130 MPa, σᵧ = 60 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dan 90°, dari sumbu x ke normal bidang tempat tegangan geser mencapai nilai positif maksimumnya +R (geser positif searah dengan τₓᵧ).

σ_x = 130 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 20 MPa, σᵧ = −50 MPa, dan τₓᵧ = −30 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σ_θ pada bidang yang normalnya diputar 20° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σ_x = 20 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

11.Lendutan balokSedang

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari kemiringan θ_A balok di tumpuan A, dalam radian.

w = 5 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (baja)I = 23 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Lendutan balokSulit

Kantilever bertopang dijepit di A dan ditumpu sederhana (ditopang) di B. Balok menahan beban merata w di sepanjang batang. EI konstan. Cari reaksi R_B di topang.

L = 5 mw = 4 kN/m

R_B = kN

13.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (baja)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

14.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 38,63 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1963 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·314,2) = 4,775 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·1963) = 1,698 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,25/6,472 × 10⁻⁶ = 38626 N = 38,63 kN

Jawaban

P = 38,63 kN

2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ_max = 222,8 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 142,6 MPa

σ₂ = 222,8 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σ_max = 222,8 MPa

Jawaban

σ_max = 222,8 MPa

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 7,47 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1000/(80000·38350) = 0,1304 rad

φ = 0,1304·180/π = 7,47°

Jawaban

φ = 7,47°

4.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 20,04 MPa

Torsi dalam

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C + T_B = 100 + 750 = 850 N·m

Tegangan geser maksimum

Segmen dengan torsi dalam terbesar memiliki tegangan terbesar (diameter sama).

|T|_max = 850 N·m

τ_max = 16·850000/(π·60³) = 20,04 MPa

Jawaban

τ_max = 20,04 MPa

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: C (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 64 kN, R₂ = 44 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = 120, M_C = 224 kN·m, M_D = 192, M_E = 144, M_F = 80, M_G = 0

Jawaban

Tanda C: M_C = 224 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: B (x = 1 m)

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 61,25 kN, R₂ = 38,75 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = −35 kN·m, M_C = −8,75, M_D = 17,5, M_E = −1,25, M_F = −20, M_G = 0

Jawaban

Tanda B: M_B = −35 kN·m

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 72,95 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 180·10 = 1800 mm², y_f = 300 + 10/2 = 305 mm

badan: A_w = 18·300 = 5400 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·305 + 5400·150)/7200 = 188,8 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 180·10³/12 + 1800·(305 − 188,8)² = 2,434 × 10⁷ mm⁴

badan: 18·300³/12 + 5400·(150 − 188,8)² = 4,861 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,434 × 10⁷ + 4,861 × 10⁷ = 7,295 × 10⁷ mm⁴ = 72,95 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 72,95 × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σ_atas = 23,83 MPa

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 140·30 = 4200 mm², y_f = 160 + 30/2 = 175 mm

badan: A_w = 20·160 = 3200 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·175 + 3200·80)/7400 = 133,9 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 140·30³/12 + 4200·(175 − 133,9)² = 7,403 × 10⁶ mm⁴

badan: 20·160³/12 + 3200·(80 − 133,9)² = 1,613 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,403 × 10⁶ + 1,613 × 10⁷ = 2,353 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi atas berjarak h − ȳ dari sumbu.

y = 190 − 133,9 = 56,08 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·56,08/2,353 × 10⁷ = 23,83 MPa

Jawaban

σ_atas = 23,83 MPa

9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_s = −24,7 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Sudut pada lingkaran

Pada lingkaran Mohr titik puncak (+R) berjarak 90° dari titik utama σ₁; pada elemen itu sama dengan 45°.

cos 2θ_s = 30/46,1 = 0,6508, sin 2θ_s = −35/46,1 = −0,7593

2θ_s = atan2(−35, 30) = −49,4°

Sudut pada elemen

θ_s = −24,7°

periksa: θ_s − θ_p = −24,7 − 20,3 = −45°

Jawaban

θ_s = −24,7°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_θ = −7,472 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = −15 + 35·0,766 + −30·0,6428 = −7,472 MPa

Jawaban

σ_θ = −7,472 MPa

11.Lendutan balok

Jawaban: θ_A = 0,009783 rad

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi). Kemiringan θ = dv/dx adalah integral pertama dari M/(EI); dengan satuan yang konsisten hasilnya dalam radian.

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 6000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Kemiringan ujung

θ_A = wL³/(24EI) = 5·6000³/(24·4,6 × 10¹²) = 0,009783 rad

Jawaban

θ_A = 0,009783 rad

Itu sama dengan 0,5605°.

12.Lendutan balok

Jawaban: R_B = 7,5 kN

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi). Untuk balok statis tak tentu, lepaskan satu tumpuan kelebihan dan syaratkan lendutan di sana nol (kompatibilitas).

Lepaskan topang

Tanpa topang, balok adalah kantilever. Ujung bebasnya akan melendut akibat beban.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Kompatibilitas di topang

Gaya topang R_B sendiri mengangkat ujung bebas sebesar R_BL³/(3EI). Topang menahan B pada lendutan nol, jadi keduanya harus saling meniadakan. EI saling menghapus.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·4·5/8 = 7,5 kN

Jawaban

R_B = 7,5 kN

13.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 21,06 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·5000 = 5000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/5000² = 21055 N = 21,06 kN

Jawaban

P_cr = 21,06 kN

14.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 7,676 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·6000 = 6000 mm

KL/r = 6000/20 = 300

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/300² = 7,676 MPa

Jawaban

σ_cr = 7,676 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials