Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 12 mmBaja0,5 mP = 30 kN

Cari regangan aksial ε pada batang baja, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 30 kNd = 12 mmL = 0,5 mE = 200 GPa
ε = µε
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 40 mmTembaga1,5 mØ 16 mmTembaga1 mP = 100 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σmax pada batang.

P = 100 kNsegmen 1: Ø40 mm, 1,5 m, tembaga (E = 117 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1 m, tembaga (E = 117 GPa)
σmax = MPa
3.Torsi porosSedang
do​ = ?T = 250 N·m

Poros berongga harus menahan torsi 250 N·m. Diameter dalamnya ditetapkan 0,7 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 75 MPa. Cari diameter luar terkecil do.

T = 250 N·mdi/do = 0,7τallow = 75 MPa
do = mm
4.Torsi porosSulit
Tdo​ = 60 mm, di​ = 48 mm

Poros berongga meneruskan 30 kW pada 1000 rpm. Cari tegangan geser maksimum τmax pada poros.

P = 30 kWN = 1000 rpmdo = 60 mmdi = 48 mm
τmax = MPa
5.Gaya geser & momen lenturSedang
35 kN10 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

35 kN @ 1 m10 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 10 kN/mP = 35 kNAB3 m1 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang dan beban terpusat P. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.

L = 4 mP = 35 kN di 3 mw = 10 kN/m dari 0 sampai 4 m
Mmax = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
2801518018xdimensi dalam mm

Cari momen inersia Ix penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

bf = 280 mmtf = 15 mmtw = 18 mmhw = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
2402022016xM negatifdimensi dalam mm

Balok besi tuang memiliki penampang T seperti pada gambar, dengan sayap di atas. Tegangan izinnya 35 MPa untuk tarik dan 120 MPa untuk tekan. Cari momen lentur negatif terbesar Mallow yang dapat ditahan balok (nyatakan besarnya).

bf = 240 mmtf = 20 mmtw = 16 mmhw = 220 mmσt,allow = 35 MPaσc,allow = 120 MPa
Mallow = kN·m
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 40σy​ = −20τxy​ = −40MPa

Suatu titik memiliki σₓ = 40 MPa, σᵧ = −20 MPa, dan τₓᵧ = −40 MPa (tarik positif). Elemen diputar 50° berlawanan arah jarum jam. Cari tegangan normal σy′ pada muka elemen yang diputar yang tegak lurus sumbu y′ yang diputar.

σx = 40 MPaσy = −20 MPaτxy = −40 MPaθ = 50°
σy′ = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = −30σy​ = −50τxy​ = −60MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −30 MPa, σᵧ = −50 MPa, dan τₓᵧ = −60 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σθ pada bidang yang normalnya diputar 20° searah jarum jam dari sumbu x.

σx = −30 MPaσy = −50 MPaτxy = −60 MPaθ = -20°
σθ = MPa
11.Lendutan balokSedang
P = 23 kNABδ4 m1 m

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada a = 4 m dari tumpuan A. Cari lendutan δP di bawah beban.

P = 23 kNa = 4 mL = 5 mE = 200 GPa (baja)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 4 kN/mABδ4,5 m

Balok kayu sederhana berpenampang persegi panjang selebar 75 mm menahan beban merata w di seluruh bentang. Lendutan tengah bentangnya tidak boleh melebihi bentang/300. Cari tinggi terkecil hreq penampang.

w = 4 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (kayu struktural)b = 75 mm
hreq = mm
13.Tekuk kolomSedang
PL = 6 m20 × 100 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 100 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 2 md = 50 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 1326 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ = P/A = 30·1000/113,1 = 265,3 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for baja = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 265,3/200000 = 0,001326 = 1326 µε

Jawaban

ε = 1326 µε
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σmax = 497,4 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 79,58 MPa
σ2 = 497,4 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σmax = 497,4 MPa

Jawaban

σmax = 497,4 MPa
3.Torsi poros

Jawaban: do = 28,16 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Diameter luar dari tegangan izin

T = 250 N·m = 250000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·250000/(π·75·0,7599)) = 28,16 mm
di = 0,7·28,16 = 19,71 mm

Jawaban

do = 28,16 mm

Poros pejal memerlukan d = 25,7 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

4.Torsi poros

Jawaban: τmax = 11,44 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 30000/104,7 = 286,5 N·m

Momen inersia polar

J = π(60⁴ − 48⁴)/32 = 751193 mm⁴

Tegangan geser maksimum

τmax = T·(do/2)/J = 286479·30/751193 = 11,44 MPa

Jawaban

τmax = 11,44 MPa
5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: B (x = 1 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 32,5 kN, R2 = 12,5 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 32,5 kN·m, MC = 30, MD = 27,5, ME = 25, MF = 12,5, MG = 0

Jawaban

Tanda B: MB = 32,5 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 41,33 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, bekerja di x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 35·3 + 10·4·2
RB = 185/4 = 46,25 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 46,25 = 28,75 kN

Di mana V = 0?

RA − w·x0 = 0 → x0 = 28,75/10 = 2,875 m

Momen maksimum

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = 28,75·2,875 − 10·2,875²/2 = 41,33 kN·m

Jawaban

Mmax = 41,33 kN·m

Terjadi di x = 2,875 m dari A.

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 26,21 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 280·15 = 4200 mm², yf = 180 + 15/2 = 187,5 mm
badan: Aw = 18·180 = 3240 mm², yw = 180/2 = 90 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4200·187,5 + 3240·90)/7440 = 145 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 280·15³/12 + 4200·(187,5 − 145)² = 7,651 × 10⁶ mm⁴
badan: 18·180³/12 + 3240·(90 − 145)² = 1,856 × 10⁷ mm⁴
Ix = 7,651 × 10⁶ + 1,856 × 10⁷ = 2,621 × 10⁷ mm⁴ = 26,21 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 26,21 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Mallow = 25,11 kN·m

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Titik berat

ȳ = (4800·230 + 3520·110)/8320 = 179,2 mm
tepi atas: c = 240 − 179,2 = 60,77 mm

Momen inersia penampang

I = 240·20³/12 + 4800·50,77² + 16·220³/12 + 3520·69,23² = 4,36 × 10⁷ mm⁴

Momen yang diizinkan tiap tepi

Momen negatif: sisi atas tertarik, sisi bawah tertekan.

tepi atas: M = 35·4,36 × 10⁷/60,77 = 25,11 kN·m
tepi bawah: M = 120·4,36 × 10⁷/179,2 = 29,19 kN·m

Nilai yang menentukan

Mallow = min = 25,11 kN·m (tepi atas)

Jawaban

Mallow = 25,11 kN·m
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σy′ = 54,6 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi untuk muka y′

σy′ = 10 − 30·(−0,1736) − (−40)·0,9848 = 54,6 MPa

Periksa

Jumlah tegangan normal tidak berubah karena rotasi.

σx′ = −34,6 MPa, σx′ + σy′ = 20 = σx + σy

Jawaban

σy′ = 54,6 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σθ = 6,228 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

σθ = −40 + 10·0,766 + −60·−0,6428 = 6,228 MPa

Jawaban

σθ = 6,228 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δP = 1,46 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 23000 N, a = 4000 mm, b = 1000 mm, L = 5000 mm
EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Lendutan di bawah beban

δP = Pa²b²/(3EIL) = 23000·4000²·1000²/(3·1,68 × 10¹³·5000) = 1,46 mm

Jawaban

δP = 1,46 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: hreq = 274,6 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Batas lendutan

δallow = L/300 = 4500/300 = 15 mm

Momen inersia yang diperlukan

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·4500⁴/(384·11000·15) = 1,294 × 10⁸ mm⁴

Tinggi yang diperlukan

bh³/12 = Ireq → h = (12·1,294 × 10⁸/75)1/3 = 274,6 mm

Jawaban

hreq = 274,6 mm

Dalam praktik, pilih tinggi standar berikutnya di atas nilai ini.

13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 2,611 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·66667/4200² = 2611 N = 2,611 kN

Jawaban

Pcr = 2,611 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 6,747 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 2·2000 = 4000 mm
KL/r = 4000/12,5 = 320

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/320² = 6,747 MPa

Jawaban

σcr = 6,747 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials