Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 10 mmTembaga2,5 mP = 115 kN

Cari regangan aksial ε pada batang tembaga, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 115 kNd = 10 mmL = 2,5 mE = 117 GPa
ε = µε
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 35 mmBaja0,5 mØ 20 mmKuningan1 mP = 85 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 85 kNsegmen 1: Ø35 mm, 0,5 m, baja (E = 200 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 1 m, kuningan (E = 100 GPa)
δ = mm
3.Torsi porosSedang
T = 400 N·md = 20 mmL = 1 mφ = ?

Poros pejal baja dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 400 N·md = 20 mmL = 1 mG = 80 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
Td = ?

Poros pejal harus meneruskan 50 kW pada 1800 rpm tanpa tegangan geser melebihi 80 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 50 kWN = 1800 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
w = 3 kN/mABpotongan0,5 m4,5 m

Cari gaya geser Vx pada potongan x = 0,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 5 mw = 3 kN/m dari 0 sampai 5 mx = 0,5 m
Vx = kN
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 10 kN/mP = 35 kNAB4,5 m1,5 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang dan beban terpusat P. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.

L = 6 mP = 35 kN di 4,5 mw = 10 kN/m dari 0 sampai 6 m
Mmax = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
150 mm300 mm180 mmØ30xIx​ = ?

Sebuah pelat 150 mm × 300 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 30 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 180 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 150 mmh = 300 mmd = 30 mmpusat lubang: y = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
120252808xM negatifdimensi dalam mm

Balok besi tuang memiliki penampang T seperti pada gambar, dengan sayap di atas. Tegangan izinnya 30 MPa untuk tarik dan 150 MPa untuk tekan. Cari momen lentur negatif terbesar Mallow yang dapat ditahan balok (nyatakan besarnya).

bf = 120 mmtf = 25 mmtw = 8 mmhw = 280 mmσt,allow = 30 MPaσc,allow = 150 MPa
Mallow = kN·m
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = −50σy​ = 30τxy​ = −60MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −50 MPa, σᵧ = 30 MPa, dan τₓᵧ = −60 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τmax.

σx = −50 MPaσy = 30 MPaτxy = −60 MPa
τmax = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
25°D = 1200 mm, t = 5 mm, p = 0,8 MPap

Tangki silinder berdinding tipis dengan diameter dalam 1200 mm dan tebal dinding 5 mm berisi gas bertekanan gauge 0,8 MPa. Tangki dibuat dari pelat yang dilas sepanjang kampuh heliks bersudut 25° terhadap sumbu silinder. Cari tegangan normal σn yang bekerja tegak lurus kampuh las.

D = 1200 mmt = 5 mmp = 0,8 MPaα = 25°
σn = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 20 kN/mδL = 1,5 m

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang. Cari lendutan δ di ujung bebas.

w = 20 kN/mL = 1,5 mE = 200 GPa (baja)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 12 kN/mδL = 6 m

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil Ireq yang memenuhi batas ini.

w = 12 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolomSedang
PL = 3 md = 25 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 3 mE = 200 GPa (baja)d = 25 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 1,5 md = 60 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)d = 60 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 12515 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 115·1000/78,54 = 1464 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for tembaga = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 1464/117000 = 0,01251 = 12515 µε

Jawaban

ε = 12515 µε
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 2,927 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 88,35 MPa
σ2 = 270,6 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ1 = σ1L1/E1 = 88,35·500/200000 = 0,2209 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 270,6·1000/100000 = 2,706 mm
δ = δ1 + δ2 = 2,927 mm

Jawaban

δ = 2,927 mm
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 18,24 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1000/(80000·15708) = 0,3183 rad
φ = 0,3183·180/π = 18,24°

Jawaban

φ = 18,24°
4.Torsi poros

Jawaban: d = 25,66 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s
T = P/ω = 50000/188,5 = 265,3 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·265258/(π·80)) = 25,66 mm

Jawaban

d = 25,66 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Vx = 6 kN

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 3·5·2,5
RB = 37,5/5 = 7,5 kN
ΣFy = 0: RA = 15 − 7,5 = 7,5 kN
w = 3 kN/mABRA​ = 7,5RB​ = 7,5potongan0,5 m4,5 m

Potong di x = 0,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

V = RA − (semua beban ke bawah di kiri potongan)
Vx = 7,5 − 3·0,5 = 6 kN

Jawaban

Vx = 6 kN
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 75,08 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, bekerja di x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 35·4,5 + 10·6·3
RB = 337,5/6 = 56,25 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 56,25 = 38,75 kN

Di mana V = 0?

RA − w·x0 = 0 → x0 = 38,75/10 = 3,875 m

Momen maksimum

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = 38,75·3,875 − 10·3,875²/2 = 75,08 kN·m

Jawaban

Mmax = 75,08 kN·m

Terjadi di x = 3,875 m dari A.

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 336,8 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (45000·150 − 706,9·180)/(45000 − 706,9) = 149,5 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

150·300³/12 + 45000·0,4788² = 337,5 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·30,48² = 0,6964 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 336,8 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 336,8 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Mallow = 17,23 kN·m

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Titik berat

ȳ = (3000·292,5 + 2240·140)/5240 = 227,3 mm
tepi atas: c = 305 − 227,3 = 77,69 mm

Momen inersia penampang

I = 120·25³/12 + 3000·65,19² + 8·280³/12 + 2240·87,31² = 4,462 × 10⁷ mm⁴

Momen yang diizinkan tiap tepi

Momen negatif: sisi atas tertarik, sisi bawah tertekan.

tepi atas: M = 30·4,462 × 10⁷/77,69 = 17,23 kN·m
tepi bawah: M = 150·4,462 × 10⁷/227,3 = 29,44 kN·m

Nilai yang menentukan

Mallow = min = 17,23 kN·m (tepi atas)

Jawaban

Mallow = 17,23 kN·m
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τmax = 72,11 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCτmax​

Jari-jari lingkaran Mohr

τmax = R = √(((−50 − 30)/2)² + −60²) = 72,11 MPa

Jawaban

τmax = 72,11 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σn = 87,43 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Silinder berdinding tipis: tegangan keliling σh = pr/t dan tegangan aksial σa = pr/(2t); keduanya adalah tegangan utama pada dinding.

Tegangan dinding

r = 1200/2 = 600 mm
σh = pr/t = 0,8·600/5 = 96 MPa
σa = pr/(2t) = 48 MPa

Transformasikan ke kampuh

Ambil x sepanjang sumbu (σa) dan y mengelilingi keliling (σh). Normal kampuh membentuk 90° − α dengan sumbu.

σn = 48·sin²25° + 96·cos²25° = 87,43 MPa

Jawaban

σn = 87,43 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δ = 7,445 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 1500 mm
EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δ = wL⁴/(8EI) = 20·1500⁴/(8·1,7 × 10¹²) = 7,445 mm

Jawaban

δ = 7,445 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: Ireq = 173,6 × 10⁶ mm⁴

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Batas lendutan

δallow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·6000⁴/(384·70000·16,67) = 1,736 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 173,6 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ireq = 173,6 × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 16,82 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1500² = 16822 N = 16,82 kN

Jawaban

Pcr = 16,82 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 49,35 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 2·1500 = 3000 mm
KL/r = 3000/15 = 200

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Jawaban

σcr = 49,35 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials