Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
50 kNØ40100 GPaØ120/50400 mmδ = ?

Sebuah batang baja (diameter 40 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari kuningan (diameter luar 120 mm, diameter dalam 50 mm, E = 100 GPa). Keduanya panjangnya 400 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 50 kN. Cari pemendekan δ.

P = 50 kNbatang: Ø40 mm, E = 200 GPatabung: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 400 mm
δ = mm
2.Tegangan & regangan aksialSulit
P = ?Ø30120 GPaØ100/70800 mm

Sebuah batang baja (diameter 30 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 200 MPa) berada di dalam tabung dari tembaga (diameter luar 100 mm, diameter dalam 70 mm, E = 120 GPa, tegangan izin 60 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar Pmax.

batang: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPatabung: Ø100/Ø70 mm, E = 120 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
3.Torsi porosSedang
T = 100 N·md = 40 mmL = 0,8 mφ = ?

Poros pejal kuningan dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 100 N·md = 40 mmL = 0,8 mG = 39 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
Td = ?

Poros pejal harus meneruskan 15 kW pada 1800 rpm tanpa tegangan geser melebihi 75 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 15 kWN = 1800 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
P1​ = 40 kNP2​ = 40 kNAB8 m1 m1 m

Balok sederhana menahan dua beban terpusat. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.

L = 10 mP1 = 40 kN di 8 mP2 = 40 kN di 9 m
Mmax = kN·m
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 12 kN/mP = 15 kNABpotongan5 m1 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 6 mP = 15 kN di 5 mw = 12 kN/m dari 0 sampai 6 mx = 5 m
Mx = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
2601522012xdimensi dalam mm

Cari momen inersia Ix penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

bf = 260 mmtf = 15 mmtw = 12 mmhw = 220 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
1001524016xM positifdimensi dalam mm

Balok besi tuang memiliki penampang T seperti pada gambar, dengan sayap di atas. Tegangan izinnya 60 MPa untuk tarik dan 120 MPa untuk tekan. Cari momen lentur positif terbesar Mallow yang dapat ditahan balok.

bf = 100 mmtf = 15 mmtw = 16 mmhw = 240 mmσt,allow = 60 MPaσc,allow = 120 MPa
Mallow = kN·m
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = −10σy​ = −60τxy​ = 20MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −10 MPa, σᵧ = −60 MPa, dan τₓᵧ = 20 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τmax.

σx = −10 MPaσy = −60 MPaτxy = 20 MPa
τmax = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = 40σy​ = −30τxy​ = −30MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 40 MPa, σᵧ = −30 MPa, dan τₓᵧ = −30 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σθ pada bidang yang normalnya diputar 15° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σx = 40 MPaσy = −30 MPaτxy = −30 MPaθ = 15°
σθ = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 4 kN/mP = 8 kNABδ1,5 m

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P di ujung bebasnya. Dengan superposisi, cari lendutan δ di ujung bebas.

P = 8 kNw = 4 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 8 kN/mP = 23 kNδL = 5 m

Balok sederhana menahan beban merata w dan beban terpusat P di tengah bentang. Dengan superposisi, cari lendutan tengah δmax.

P = 23 kNw = 8 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Tekuk kolomSedang
PL = 4 m40 × 60 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 4 mE = 200 GPa (baja)b × h = 40 × 60 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 1,5 md = 30 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)d = 30 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,01686 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·9346 = 1,186 × 10⁹ N

Pemendekan

δ = 50000·400/1,186 × 10⁹ = 0,01686 mm

Jawaban

δ = 0,01686 mm
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: Pmax = 311 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·4006 = 6,22 × 10⁸ N

Regangan penentu

ε = min(0,001, 0,0005) = 0,0005 (tembaga)

Beban terbesar

Pmax = 0,0005·6,22 × 10⁸ = 311018 N = 311 kN

Jawaban

Pmax = 311 kN
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 0,4676 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 100·1000·800/(39000·251327) = 0,008162 rad
φ = 0,008162·180/π = 0,4676°

Jawaban

φ = 0,4676°
4.Torsi poros

Jawaban: d = 17,55 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s
T = P/ω = 15000/188,5 = 79,58 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·79577/(π·75)) = 17,55 mm

Jawaban

d = 17,55 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 96 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

ΣMA = 0: RB·10 = 40·8 + 40·9
RB = 680/10 = 68 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 68 = 12 kN

Momen di bawah tiap beban

Ambil bagian di kiri tiap beban.

di bawah P1: M = RA·8 = 12·8 = 96 kN·m
di bawah P2: M = RB·1 = 68·1 = 68 kN·m

Nilai terbesar

Mmax = 96 kN·m (di bawah P1)

Jawaban

Mmax = 96 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 42,5 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, bekerja di x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 15·5 + 12·6·3
RB = 291/6 = 48,5 kN
ΣFy = 0: RA = 87 − 48,5 = 38,5 kN
w = 12 kN/mP = 15 kNABRA​ = 38,5RB​ = 48,5potongan5 m1 m

Potong di x = 5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 38,5·5 − 12·5·2,5 = 42,5 kN·m

Jawaban

Mx = 42,5 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 32,46 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 260·15 = 3900 mm², yf = 220 + 15/2 = 227,5 mm
badan: Aw = 12·220 = 2640 mm², yw = 220/2 = 110 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3900·227,5 + 2640·110)/6540 = 180,1 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 260·15³/12 + 3900·(227,5 − 180,1)² = 8,847 × 10⁶ mm⁴
badan: 12·220³/12 + 2640·(110 − 180,1)² = 2,361 × 10⁷ mm⁴
Ix = 8,847 × 10⁶ + 2,361 × 10⁷ = 3,246 × 10⁷ mm⁴ = 32,46 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 32,46 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Mallow = 13,86 kN·m

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Titik berat

ȳ = (1500·247,5 + 3840·120)/5340 = 155,8 mm
tepi atas: c = 255 − 155,8 = 99,19 mm

Momen inersia penampang

I = 100·15³/12 + 1500·91,69² + 16·240³/12 + 3840·35,81² = 3,599 × 10⁷ mm⁴

Momen yang diizinkan tiap tepi

Momen positif: sisi atas tertekan, sisi bawah tertarik.

tepi atas: M = 120·3,599 × 10⁷/99,19 = 43,55 kN·m
tepi bawah: M = 60·3,599 × 10⁷/155,8 = 13,86 kN·m

Nilai yang menentukan

Mallow = min = 13,86 kN·m (tepi bawah)

Jawaban

Mallow = 13,86 kN·m
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τmax = 32,02 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCτmax​

Jari-jari lingkaran Mohr

τmax = R = √(((−10 − −60)/2)² + 20²) = 32,02 MPa

Jawaban

τmax = 32,02 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σθ = 20,31 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

σθ = 5 + 35·0,866 + −30·0,5 = 20,31 MPa

Jawaban

σθ = 20,31 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δ = 4,576 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 8000 N, w = 4 N/mm, L = 1500 mm
EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Setiap beban sendiri

δP = PL³/(3EI) = 8000·1500³/(3·2,52 × 10¹²) = 3,571 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 4·1500⁴/(8·2,52 × 10¹²) = 1,004 mm

Jumlahkan

δ = 3,571 + 1,004 = 4,576 mm

Jawaban

δ = 4,576 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 31,33 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 23000 N, w = 8 N/mm, L = 5000 mm, EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Setiap beban sendiri

δP = PL³/(48EI) = 23000·5000³/(48·3,99 × 10¹²) = 15,01 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·5000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 16,32 mm

Jumlahkan

δmax = 15,01 + 16,32 = 31,33 mm

Jawaban

δmax = 31,33 mm
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 80,57 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/2800² = 80568 N = 80,57 kN

Jawaban

Pcr = 80,57 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 49,35 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 1·1500 = 1500 mm
KL/r = 1500/7,5 = 200

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Jawaban

σcr = 49,35 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials