Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
200 kNØ20100 GPaØ100/70400 mmδ = ?

Sebuah batang baja (diameter 20 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari kuningan (diameter luar 100 mm, diameter dalam 70 mm, E = 100 GPa). Keduanya panjangnya 400 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 200 kN. Cari pemendekan δ.

P = 200 kNbatang: Ø20 mm, E = 200 GPatabung: Ø100/Ø70 mm, E = 100 GPaL = 400 mm
δ = mm
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 25 mmTembaga0,5 mØ 16 mmTembaga1,5 mP = 60 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 60 kNsegmen 1: Ø25 mm, 0,5 m, tembaga (E = 117 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1,5 m, tembaga (E = 117 GPa)
δ = mm
3.Torsi porosSedang
do​ = 50, di​ = 30 mmT = 750 N·mL = 1 m

Poros aluminium berongga (diameter luar 50 mm, diameter dalam 30 mm, panjang 1 m) dijepit di satu ujung dan dipuntir oleh torsi 750 N·m di ujung lainnya. Cari sudut puntir φ dalam derajat.

T = 750 N·mdo = 50 mmdi = 30 mmL = 1 mG = 26 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
d = 40 mmTB​ = 400 N·mTC​ = 1500 N·mABC0,8 m0,5 m

Poros aluminium pejal berdiameter 40 mm dijepit di A. Torsi 400 N·m bekerja di B, 0,8 m dari A, dan torsi 1500 N·m dengan arah yang sama bekerja di ujung bebas C, 0,5 m lebih jauh. Cari besar sudut puntir φC ujung C, dalam derajat.

d = 40 mmTB = 400 N·mTC = 1500 N·mAB = 0,8 mBC = 0,5 mG = 26 GPa
φC = °
5.Gaya geser & momen lenturSedang
w = 5 kN/mABpotongan1 m4 m

Cari gaya geser Vx pada potongan x = 1 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 5 mw = 5 kN/m dari 0 sampai 5 mx = 1 m
Vx = kN
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 5 kN/mP = 25 kNAB3 m1 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang dan beban terpusat P. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.

L = 4 mP = 25 kN di 3 mw = 5 kN/m dari 0 sampai 4 m
Mmax = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
120 mm240 mm144 mmØ30xIx​ = ?

Sebuah pelat 120 mm × 240 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 30 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 144 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 120 mmh = 240 mmd = 30 mmpusat lubang: y = 144 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
2402512010xM negatifdimensi dalam mm

Balok besi tuang memiliki penampang T seperti pada gambar, dengan sayap di atas. Tegangan izinnya 30 MPa untuk tarik dan 150 MPa untuk tekan. Cari momen lentur negatif terbesar Mallow yang dapat ditahan balok (nyatakan besarnya).

bf = 240 mmtf = 25 mmtw = 10 mmhw = 120 mmσt,allow = 30 MPaσc,allow = 150 MPa
Mallow = kN·m
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = −70σy​ = 20τxy​ = 20MPa

Suatu titik memiliki σₓ = −70 MPa, σᵧ = 20 MPa, dan τₓᵧ = 20 MPa (tarik positif). Cari sudut θs, antara −90° dan 90°, dari sumbu x ke normal bidang tempat tegangan geser mencapai nilai positif maksimumnya +R (geser positif searah dengan τₓᵧ).

σx = −70 MPaσy = 20 MPaτxy = 20 MPa
θs = °
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = 10σy​ = −50τxy​ = −60MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 10 MPa, σᵧ = −50 MPa, dan τₓᵧ = −60 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σθ pada bidang yang normalnya diputar 40° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σx = 10 MPaσy = −50 MPaτxy = −60 MPaθ = 40°
σθ = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 5 kN/mP = 14 kNABδ4 m

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P di ujung bebasnya. Dengan superposisi, cari lendutan δ di ujung bebas.

P = 14 kNw = 5 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (baja)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Lendutan balokSulit
P = 16 kNP = 16 kNABδ1,667 m1,666 m1,667 m

Balok sederhana menahan dua beban terpusat P yang sama di titik sepertiga bentang (L/3 dari tiap tumpuan). Dengan superposisi, cari lendutan tengah bentang δmax.

P = 16 kNL = 5 mE = 200 GPa (baja)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Tekuk kolomSedang
PL = 1 md = 20 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 1 mE = 200 GPa (baja)d = 20 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 6 md = 40 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (baja)d = 40 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,1726 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

Ar = π·20²/4 = 314,2 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·314,2 + 100·10³·4006 = 4,634 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 200000·400/4,634 × 10⁸ = 0,1726 mm

Jawaban

δ = 0,1726 mm
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 4,348 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 122,2 MPa
σ2 = 298,4 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ1 = σ1L1/E1 = 122,2·500/117000 = 0,5224 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 298,4·1500/117000 = 3,826 mm
δ = δ1 + δ2 = 4,348 mm

Jawaban

δ = 4,348 mm
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 3,095 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

Sudut puntir

T = 750 N·m = 750000 N·mm
L = 1 m = 1000 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = TL/(GJ) = 750000·1000/(26000·534071) = 0,05401 rad
φ = 0,05401·180/π = 3,095°

Jawaban

φ = 3,095°
4.Torsi poros

Jawaban: φC = 19,9 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi dalam

Arah TC diambil sebagai positif.

TBC = TC = 1500 N·m
TAB = TC + TB = 1500 + 400 = 1900 N·m

Puntiran tiap segmen

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
G = 26 GPa = 26000 MPa
φAB = 1,9 × 10⁶·800/(26000·251327) = 0,2326 rad
φBC = 1,5 × 10⁶·500/(26000·251327) = 0,1148 rad

Puntiran ujung C

φC = 0,2326 + 0,1148 = 0,3474 rad → |φC| = 19,9°

Jawaban

φC = 19,9°
5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Vx = 7,5 kN

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 5·5·2,5
RB = 62,5/5 = 12,5 kN
ΣFy = 0: RA = 25 − 12,5 = 12,5 kN
w = 5 kN/mABRA​ = 12,5RB​ = 12,5potongan1 m4 m

Potong di x = 1 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

V = RA − (semua beban ke bawah di kiri potongan)
Vx = 12,5 − 5·1 = 7,5 kN

Jawaban

Vx = 7,5 kN
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 26,25 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, bekerja di x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 25·3 + 5·4·2
RB = 115/4 = 28,75 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 28,75 = 16,25 kN

Di mana V = 0?

V(3⁻) = RA − w·3 = 1,25 kN
V(3⁺) = 1,25 − 25 = −23,75 kN
Gaya geser berganti tanda di titik beban, jadi maksimum berada di bawah beban.

Momen maksimum

Mmax = RA·3 − w·3²/2 = 16,25·3 − 5·3²/2 = 26,25 kN·m

Jawaban

Mmax = 26,25 kN·m

Terjadi di x = 3 m dari A.

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 137,8 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (28800·120 − 706,9·144)/(28800 − 706,9) = 119,4 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

120·240³/12 + 28800·0,6039² = 138,3 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·24,6² = 0,4677 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 137,8 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 137,8 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Mallow = 8,553 kN·m

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Titik berat

ȳ = (6000·132,5 + 1200·60)/7200 = 120,4 mm
tepi atas: c = 145 − 120,4 = 24,58 mm

Momen inersia penampang

I = 240·25³/12 + 6000·12,08² + 10·120³/12 + 1200·60,42² = 7,009 × 10⁶ mm⁴

Momen yang diizinkan tiap tepi

Momen negatif: sisi atas tertarik, sisi bawah tertekan.

tepi atas: M = 30·7,009 × 10⁶/24,58 = 8,553 kN·m
tepi bawah: M = 150·7,009 × 10⁶/120,4 = 8,731 kN·m

Nilai yang menentukan

Mallow = min = 8,553 kN·m (tepi atas)

Jawaban

Mallow = 8,553 kN·m
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θs = 33,02 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCτmax​

Sudut pada lingkaran

Pada lingkaran Mohr titik puncak (+R) berjarak 90° dari titik utama σ₁; pada elemen itu sama dengan 45°.

cos 2θs = 20/49,24 = 0,4061, sin 2θs = −(−45)/49,24 = 0,9138
2θs = atan2(45, 20) = 66,04°

Sudut pada elemen

θs = 33,02°
periksa: θs − θp = 33,02 − 78,02 = −45°

Jawaban

θs = 33,02°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σθ = −73,88 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

σθ = −20 + 30·0,1736 + −60·0,9848 = −73,88 MPa

Jawaban

σθ = −73,88 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δ = 19,11 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 14000 N, w = 5 N/mm, L = 4000 mm
EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Setiap beban sendiri

δP = PL³/(3EI) = 14000·4000³/(3·2,4 × 10¹³) = 12,44 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 5·4000⁴/(8·2,4 × 10¹³) = 6,667 mm

Jumlahkan

δ = 12,44 + 6,667 = 19,11 mm

Jawaban

δ = 19,11 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 6,227 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 16000 N, L = 5000 mm
EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Satu beban di L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1667 mm
δ₁ = 3,113 mm

Jumlahkan kedua beban

δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 6,227 mm

Jawaban

δmax = 6,227 mm
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 31,64 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/700² = 31639 N = 31,64 kN

Jawaban

Pcr = 31,64 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 11,19 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0,7·6000 = 4200 mm
KL/r = 4200/10 = 420

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/420² = 11,19 MPa

Jawaban

σcr = 11,19 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials