Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 25 mmTembaga1 mP = 10 kN

Cari regangan aksial ε pada batang tembaga, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 10 kNd = 25 mmL = 1 mE = 117 GPa
ε = µε
2.Tegangan & regangan aksialSulit
P = ?Ø30110 GPaØ120/50500 mm

Sebuah batang baja (diameter 30 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 150 MPa) berada di dalam tabung dari perunggu (diameter luar 120 mm, diameter dalam 50 mm, E = 110 GPa, tegangan izin 50 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar Pmax.

batang: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 150 MPatabung: Ø120/Ø50 mm, E = 110 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
3.Torsi porosSedang
T = 500 N·md = 50 mmL = 1 mφ = ?

Poros pejal aluminium dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 500 N·md = 50 mmL = 1 mG = 26 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
do​ = ?10 kW, 3000 rpm

Poros berongga harus meneruskan 10 kW pada 3000 rpm. Diameter dalamnya ditetapkan 0,7 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 80 MPa. Cari diameter luar terkecil do.

P = 10 kWN = 3000 rpmdi/do = 0,7τallow = 80 MPa
do = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
P1​ = 50 kNP2​ = 65 kNAB3 m2 m5 m

Balok sederhana menahan dua beban terpusat. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.

L = 10 mP1 = 50 kN di 3 mP2 = 65 kN di 5 m
Mmax = kN·m
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 4 kN/mP = 45 kNAB2,5 m3,5 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang dan beban terpusat P. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.

L = 6 mP = 45 kN di 2,5 mw = 4 kN/m dari 0 sampai 6 m
Mmax = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
2603028012xdimensi dalam mm

Cari momen inersia Ix penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

bf = 260 mmtf = 30 mmtw = 12 mmhw = 280 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
1603002414xM = 80 kN·mdimensi dalam mm

Profil I simetris memiliki sayap selebar 160 mm dan setebal 24 mm, tinggi total 300 mm, dan badan setebal 14 mm. Penampang menahan momen lentur sebesar 80 kN·m terhadap sumbu x. Cari besar tegangan lentur σj di pertemuan badan dan sayap atas.

B = 160 mmH = 300 mmtf = 24 mmtw = 14 mmM = 80 kN·m
σj = MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = −70σy​ = −10τxy​ = 10MPa

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = −70 MPa, σᵧ = −10 MPa, dan τₓᵧ = 10 MPa, dengan σz = 0. Cari tegangan geser maksimum absolut τabs di titik itu (dengan meninjau semua bidang dalam tiga dimensi).

σx = −70 MPaσy = −10 MPaτxy = 10 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = 150σy​ = 80τxy​ = 10MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 150 MPa, σᵧ = 80 MPa, dan τₓᵧ = 10 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σθ pada bidang yang normalnya diputar 30° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σx = 150 MPaσy = 80 MPaτxy = 10 MPaθ = 30°
σθ = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 12 kN/mP = 17 kNABδ1,5 m

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P di ujung bebasnya. Dengan superposisi, cari lendutan δ di ujung bebas.

P = 17 kNw = 12 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 5 kN/mAB6 m

Kantilever bertopang dijepit di A dan ditumpu sederhana (ditopang) di B. Balok menahan beban merata w di sepanjang batang. EI konstan. Cari reaksi RB di topang.

L = 6 mw = 5 kN/m
RB = kN
13.Tekuk kolomSedang
PL = 2,5 m50 × 80 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)b × h = 50 × 80 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
P = 70 kNL = 5 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 70 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 70 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (baja)
d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 174,1 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·25²/4 = 490,9 mm²
σ = P/A = 10·1000/490,9 = 20,37 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for tembaga = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 20,37/117000 = 0,0001741 = 174,1 µε

Jawaban

ε = 174,1 µε
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: Pmax = 531,6 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·9346 = 1,169 × 10⁹ N

Regangan penentu

ε = min(0,00075, 0,0004545) = 0,0004545 (perunggu)

Beban terbesar

Pmax = 0,0004545·1,169 × 10⁹ = 531572 N = 531,6 kN

Jawaban

Pmax = 531,6 kN
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 1,796 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1000/(26000·613592) = 0,03134 rad
φ = 0,03134·180/π = 1,796°

Jawaban

φ = 1,796°
4.Torsi poros

Jawaban: do = 13,87 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s
T = P/ω = 10000/314,2 = 31,83 N·m

Diameter luar dari tegangan izin

T = 31,83 N·m = 31831 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·31831/(π·80·0,7599)) = 13,87 mm
di = 0,7·13,87 = 9,707 mm

Jawaban

do = 13,87 mm

Poros pejal memerlukan d = 12,65 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 237,5 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

ΣMA = 0: RB·10 = 50·3 + 65·5
RB = 475/10 = 47,5 kN
ΣFy = 0: RA = 115 − 47,5 = 67,5 kN

Momen di bawah tiap beban

Ambil bagian di kiri tiap beban.

di bawah P1: M = RA·3 = 67,5·3 = 202,5 kN·m
di bawah P2: M = RB·5 = 47,5·5 = 237,5 kN·m

Nilai terbesar

Mmax = 237,5 kN·m (di bawah P2)

Jawaban

Mmax = 237,5 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 83,13 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, bekerja di x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 45·2,5 + 4·6·3
RB = 184,5/6 = 30,75 kN
ΣFy = 0: RA = 69 − 30,75 = 38,25 kN

Di mana V = 0?

V(2,5⁻) = RA − w·2,5 = 28,25 kN
V(2,5⁺) = 28,25 − 45 = −16,75 kN
Gaya geser berganti tanda di titik beban, jadi maksimum berada di bawah beban.

Momen maksimum

Mmax = RA·2,5 − w·2,5²/2 = 38,25·2,5 − 4·2,5²/2 = 83,13 kN·m

Jawaban

Mmax = 83,13 kN·m

Terjadi di x = 2,5 m dari A.

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 78,96 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 260·30 = 7800 mm², yf = 280 + 30/2 = 295 mm
badan: Aw = 12·280 = 3360 mm², yw = 280/2 = 140 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (7800·295 + 3360·140)/11160 = 248,3 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 260·30³/12 + 7800·(295 − 248,3)² = 1,757 × 10⁷ mm⁴
badan: 12·280³/12 + 3360·(140 − 248,3)² = 6,139 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,757 × 10⁷ + 6,139 × 10⁷ = 7,896 × 10⁷ mm⁴ = 78,96 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 78,96 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σj = 60,98 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Persegi panjang luar dikurangi dua potongan samping

Kedua potongan bersama-sama selebar (B − tw) dan setinggi hw = H − 2tf, dan memakai sumbu x yang sama.

hw = 300 − 2·24 = 252 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (160·300³ − 146·252³)/12
Ix = 1,653 × 10⁸ mm⁴

Tegangan lentur

y = 150 − 24 = 126 mm
σ = M·y/I = 8 × 10⁷·126/1,653 × 10⁸ = 60,98 MPa

Jawaban

σj = 60,98 MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τabs = 35,81 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Dalam tiga dimensi, tegangan geser maksimum absolut adalah (σmax − σmin)/2 dari ketiga tegangan utama; pada tegangan bidang tegangan utama ketiga bernilai nol.

στxyCσ1​σ2​

Tegangan utama sebidang

C = −40 MPa, R = √((−30)² + 10²) = 31,62 MPa
σ1 = −8,377 MPa, σ2 = −71,62 MPa, σz = 0

Lingkaran terbesar dari ketiganya

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(63,25, 8,377, 71,62)/2 = 35,81 MPa

Jawaban

τabs = 35,81 MPa

Di sini lingkaran di luar bidang yang menentukan: maksimum absolutnya lebih besar daripada maksimum sebidang R.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σθ = 141,2 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

σθ = 115 + 35·0,5 + 10·0,866 = 141,2 MPa

Jawaban

σθ = 141,2 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δ = 16,6 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 17000 N, w = 12 N/mm, L = 1500 mm
EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Setiap beban sendiri

δP = PL³/(3EI) = 17000·1500³/(3·1,61 × 10¹²) = 11,88 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 12·1500⁴/(8·1,61 × 10¹²) = 4,717 mm

Jumlahkan

δ = 11,88 + 4,717 = 16,6 mm

Jawaban

δ = 16,6 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: RB = 11,25 kN

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi). Untuk balok statis tak tentu, lepaskan satu tumpuan kelebihan dan syaratkan lendutan di sana nol (kompatibilitas).

Lepaskan topang

Tanpa topang, balok adalah kantilever. Ujung bebasnya akan melendut akibat beban.

δload = wL⁴/(8EI)

Kompatibilitas di topang

Gaya topang RB sendiri mengangkat ujung bebas sebesar RBL³/(3EI). Topang menahan B pada lendutan nol, jadi keduanya harus saling meniadakan. EI saling menghapus.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·5·6/8 = 11,25 kN

Jawaban

RB = 11,25 kN
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 537,1 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/1750² = 537121 N = 537,1 kN

Jawaban

Pcr = 537,1 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 109,6 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 2·70000 = 140000 N
KL = 2·5000 = 10000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·140000·10000²/(π³·200000))^(1/4) = 109,6 mm

Jawaban

d = 109,6 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 364,8, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials