Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari pertambahan panjang δ batang kuningan akibat beban aksial.

P = 30 kNd = 30 mmL = 3 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 70 kNsegmen 1: Ø40 mm, 1,5 m, tembaga (E = 117 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 0,5 m, tembaga (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torsi porosSedang

Poros pejal baja dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 200 N·md = 40 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros pejal harus meneruskan 50 kW pada 300 rpm tanpa tegangan geser melebihi 40 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 50 kWN = 300 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Cari gaya geser V_x pada potongan x = 1 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 6 mw = 10 kN/m dari 0 sampai 6 mx = 1 m

V_x = kN

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

60 kN @ 12 m35 kN @ 4 m10 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Titik berat & momen inersiaSedang

Cari momen inersia I_x penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

b_f = 220 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersiaSulit

Balok besi tuang memiliki penampang T seperti pada gambar, dengan sayap di atas. Tegangan izinnya 60 MPa untuk tarik dan 150 MPa untuk tekan. Cari momen lentur positif terbesar M_allow yang dapat ditahan balok.

b_f = 140 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 240 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 120 MPa, σᵧ = −80 MPa, dan τₓᵧ = 60 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_p dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 120 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_p = °

10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 40 MPa, σᵧ = −70 MPa, dan τₓᵧ = 10 MPa (σ_z = 0). Bahan memiliki kekuatan luluh 250 MPa. Cari faktor keamanan n terhadap luluh menurut kriteria Tresca (tegangan geser maksimum).

σ_x = 40 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 10 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

11.Lendutan balokSedang

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada a = 1 m dari tumpuan A. Cari lendutan δ_P di bawah beban.

P = 25 kNa = 1 mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil I_req yang memenuhi batas ini.

w = 5 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (kayu struktural)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Kolom harus menahan 105 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 105 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 1,273 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 30·1000/706,9 = 42,44 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for kuningan = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 42,44/100000 = 0,0004244 = 424,4 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,0004244·3000 mm = 1,273 mm

Jawaban

δ = 1,273 mm

2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 1,666 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 55,7 MPa

σ₂ = 222,8 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 55,7·1500/117000 = 0,7142 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 222,8·500/117000 = 0,9522 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,666 mm

Jawaban

δ = 1,666 mm

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 1,14 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2000/(80000·251327) = 0,01989 rad

φ = 0,01989·180/π = 1,14°

Jawaban

φ = 1,14°

4.Torsi poros

Jawaban: d = 58,74 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 50000/31,42 = 1592 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·1,592 × 10⁶/(π·40)) = 58,74 mm

Jawaban

d = 58,74 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: V_x = 20 kN

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, bekerja di x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·6·3

R_B = 180/6 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Potong di x = 1 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

V = R_A − (semua beban ke bawah di kiri potongan)

V_x = 30 − 10·1 = 20 kN

Jawaban

V_x = 20 kN

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: C (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 59 kN, R₂ = 136 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = 98, M_C = 156 kN·m, M_D = 104, M_E = 12, M_F = −120, M_G = 0

Jawaban

Tanda C: M_C = 156 kN·m

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 26,77 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 220·30 = 6600 mm², y_f = 160 + 30/2 = 175 mm

badan: A_w = 20·160 = 3200 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6600·175 + 3200·80)/9800 = 144 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 220·30³/12 + 6600·(175 − 144)² = 6,846 × 10⁶ mm⁴

badan: 20·160³/12 + 3200·(80 − 144)² = 1,993 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,846 × 10⁶ + 1,993 × 10⁷ = 2,677 × 10⁷ mm⁴ = 26,77 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 26,77 × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: M_allow = 14,08 kN·m

Titik berat

ȳ = (2800·250 + 3360·120)/6160 = 179,1 mm

tepi atas: c = 260 − 179,1 = 80,91 mm

Momen inersia penampang

I = 140·20³/12 + 2800·70,91² + 14·240³/12 + 3360·59,09² = 4,203 × 10⁷ mm⁴

Momen yang diizinkan tiap tepi

Momen positif: sisi atas tertekan, sisi bawah tertarik.

tepi atas: M = 150·4,203 × 10⁷/80,91 = 77,92 kN·m

tepi bawah: M = 60·4,203 × 10⁷/179,1 = 14,08 kN·m

Nilai yang menentukan

M_allow = min = 14,08 kN·m (tepi bawah)

Jawaban

M_allow = 14,08 kN·m

9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_p = 15,48 °

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·60, 120 − −80) = 30,96°

Sudut pada elemen

θ_p = 15,48°

Jawaban

θ_p = 15,48°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: n = 2,236

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σ_Y/2.

Tegangan utama

C = −15 MPa, R = 55,9 MPa

σ₁ = 40,9 MPa, σ₂ = −70,9 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 111,8 MPa

n = 250/111,8 = 2,236

Jawaban

n = 2,236

n > 1 berarti titik tersebut tidak luluh; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

11.Lendutan balok

Jawaban: δ_P = 2,232 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 25000 N, a = 1000 mm, b = 3000 mm, L = 4000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Lendutan di bawah beban

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 25000·1000²·3000²/(3·8,4 × 10¹²·4000) = 2,232 mm

Jawaban

δ_P = 2,232 mm

12.Lendutan balok

Jawaban: I_req = 33,29 × 10⁶ mm⁴

Batas lendutan

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·2500⁴/(384·11000·6,944) = 3,329 × 10⁷ mm⁴

I_req = 33,29 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_req = 33,29 × 10⁶ mm⁴

13.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 154,3 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·1500 = 3000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/3000² = 154342 N = 154,3 kN

Jawaban

P_cr = 154,3 kN

14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 59,02 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·105000 = 210000 N

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·1400²/(π³·70000))^(1/4) = 59,02 mm

Jawaban

d = 59,02 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 94,88, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials