Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 10 mmTembaga0,5 mP = 10 kN

Cari regangan aksial ε pada batang tembaga, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 10 kNd = 10 mmL = 0,5 mE = 117 GPa
ε = µε
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 25 mmTembaga0,5 mØ 16 mmKuningan1 mP = 25 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 25 kNsegmen 1: Ø25 mm, 0,5 m, tembaga (E = 117 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1 m, kuningan (E = 100 GPa)
δ = mm
3.Torsi porosSedang
T = 400 N·md = 50 mmL = 2,5 mφ = ?

Poros pejal aluminium dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 400 N·md = 50 mmL = 2,5 mG = 26 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
Td = ?

Poros pejal harus meneruskan 15 kW pada 500 rpm tanpa tegangan geser melebihi 80 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 15 kWN = 500 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
P1​ = 50 kNP2​ = 35 kNAB5 m1 m2 m

Balok sederhana menahan dua beban terpusat. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.

L = 8 mP1 = 50 kN di 5 mP2 = 35 kN di 6 m
Mmax = kN·m
6.Gaya geser & momen lenturSulit
5 kN/m35 kN30 kN55 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

35 kN @ 0 m30 kN @ 12 m55 kN @ 6 m5 kN/m, 2–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.Titik berat & momen inersiaSedang
2602516016xdimensi dalam mm

Cari momen inersia Ix penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

bf = 260 mmtf = 25 mmtw = 16 mmhw = 160 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
120 mm150 mm105 mm50 × 50xIx​ = ?

Sebuah pelat 120 mm × 150 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 50 mm dan setinggi 50 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 105 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 120 mmh = 150 mmpotongan: 50 × 50 mmpusat lubang: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = −10σy​ = −60τxy​ = 10MPa

Suatu titik memiliki σₓ = −10 MPa, σᵧ = −60 MPa, dan τₓᵧ = 10 MPa (tarik positif). Elemen diputar 60° berlawanan arah jarum jam. Cari tegangan normal σy′ pada muka elemen yang diputar yang tegak lurus sumbu y′ yang diputar.

σx = −10 MPaσy = −60 MPaτxy = 10 MPaθ = 60°
σy′ = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = −80σy​ = 100τxy​ = 30MPa

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = −80 MPa, σᵧ = 100 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (σz = 0). Cari tegangan ekuivalen von Mises σvM.

σx = −80 MPaσy = 100 MPaτxy = 30 MPa
σvM = MPa
11.Lendutan balokSedang
P = 10 kNABδ3,5 m1,5 m

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada a = 3,5 m dari tumpuan A. Cari lendutan δP di bawah beban.

P = 10 kNa = 3,5 mL = 5 mE = 200 GPa (baja)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 2 kN/mP = 3 kNδL = 6 m

Balok sederhana menahan beban merata w dan beban terpusat P di tengah bentang. Dengan superposisi, cari lendutan tengah δmax.

P = 3 kNw = 2 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Tekuk kolomSedang
PL = 4 md = 80 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 4 mE = 200 GPa (baja)d = 80 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 5 md = 80 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 1088 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 10·1000/78,54 = 127,3 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for tembaga = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 127,3/117000 = 0,001088 = 1088 µε

Jawaban

ε = 1088 µε
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 1,461 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 50,93 MPa
σ2 = 124,3 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ1 = σ1L1/E1 = 50,93·500/117000 = 0,2176 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 124,3·1000/100000 = 1,243 mm
δ = δ1 + δ2 = 1,461 mm

Jawaban

δ = 1,461 mm
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 3,591 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 400·1000·2500/(26000·613592) = 0,06268 rad
φ = 0,06268·180/π = 3,591°

Jawaban

φ = 3,591°
4.Torsi poros

Jawaban: d = 26,32 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s
T = P/ω = 15000/52,36 = 286,5 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·286479/(π·80)) = 26,32 mm

Jawaban

d = 26,32 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 137,5 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

ΣMA = 0: RB·8 = 50·5 + 35·6
RB = 460/8 = 57,5 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 57,5 = 27,5 kN

Momen di bawah tiap beban

Ambil bagian di kiri tiap beban.

di bawah P1: M = RA·5 = 27,5·5 = 137,5 kN·m
di bawah P2: M = RB·2 = 57,5·2 = 115 kN·m

Nilai terbesar

Mmax = 137,5 kN·m (di bawah P1)

Jawaban

Mmax = 137,5 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: E (x = 8 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 60 kN, R2 = 90 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = −70, MC = −30, MD = −10, ME = −120 kN·m, MF = −60, MG = 0

Jawaban

Tanda E: ME = −120 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 21,51 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 260·25 = 6500 mm², yf = 160 + 25/2 = 172,5 mm
badan: Aw = 16·160 = 2560 mm², yw = 160/2 = 80 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (6500·172,5 + 2560·80)/9060 = 146,4 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 260·25³/12 + 6500·(172,5 − 146,4)² = 4,779 × 10⁶ mm⁴
badan: 16·160³/12 + 2560·(80 − 146,4)² = 1,674 × 10⁷ mm⁴
Ix = 4,779 × 10⁶ + 1,674 × 10⁷ = 2,151 × 10⁷ mm⁴ = 21,51 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 21,51 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 30,62 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (18000·75 − 2500·105)/(18000 − 2500) = 70,16 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

120·150³/12 + 18000·4,839² = 34,17 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

50·50³/12 + 2500·34,84² = 3,555 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 30,62 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 30,62 × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σy′ = −31,16 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi untuk muka y′

σy′ = −35 − 25·(−0,5) − 10·0,866 = −31,16 MPa

Periksa

Jumlah tegangan normal tidak berubah karena rotasi.

σx′ = −38,84 MPa, σx′ + σy′ = −70 = σx + σy

Jawaban

σy′ = −31,16 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σvM = 164,6 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σY; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Tegangan utama

C = 10 MPa, R = 94,87 MPa
σ1 = 104,9 MPa, σ2 = −84,87 MPa, σ3 = 0

Von Mises

σvM = √(104,9² − 104,9·(−84,87) + (−84,87)²) = 164,6 MPa

Jawaban

σvM = 164,6 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δP = 1,612 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 10000 N, a = 3500 mm, b = 1500 mm, L = 5000 mm
EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Lendutan di bawah beban

δP = Pa²b²/(3EIL) = 10000·3500²·1500²/(3·1,14 × 10¹³·5000) = 1,612 mm

Jawaban

δP = 1,612 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 51,14 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 3000 N, w = 2 N/mm, L = 6000 mm, EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Setiap beban sendiri

δP = PL³/(48EI) = 3000·6000³/(48·9,24 × 10¹¹) = 14,61 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·6000⁴/(384·9,24 × 10¹¹) = 36,53 mm

Jumlahkan

δmax = 14,61 + 36,53 = 51,14 mm

Jawaban

δmax = 51,14 mm
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 62,01 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·4000 = 8000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/8000² = 62013 N = 62,01 kN

Jawaban

Pcr = 62,01 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 44,22 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 0,5·5000 = 2500 mm
KL/r = 2500/20 = 125

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/125² = 44,22 MPa

Jawaban

σcr = 44,22 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials