Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 10 mmTembaga1 mP = 25 kN

Cari pertambahan panjang δ batang tembaga akibat beban aksial.

P = 25 kNd = 10 mmL = 1 mE = 117 GPa
δ = mm
2.Tegangan & regangan aksialSulit
40 kN12300 mm300 mmØ30Ø60σ2​ = ?

Sebuah segmen baja (diameter 30 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari aluminium (diameter 60 mm, panjang 300 mm, E = 70 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 40 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ2 pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø60 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 40 kN
σ2 = MPa
3.Torsi porosSedang
d = 15 mmT = 100 N·m250 mmφ = 3,6°

Dalam uji torsi, spesimen pejal berdiameter 15 mm dipuntir oleh torsi 100 N·m. Kedua ujung panjang ukur 250 mm berputar 3,6° relatif satu sama lain (bahan masih elastis). Cari modulus geser G bahan.

T = 100 N·md = 15 mmL = 250 mmφ = 3,6°
G = GPa
4.Torsi porosSulit
Tdo​ = 40 mm, di​ = 24 mm

Poros berongga meneruskan 30 kW pada 1000 rpm. Cari tegangan geser maksimum τmax pada poros.

P = 30 kWN = 1000 rpmdo = 40 mmdi = 24 mm
τmax = MPa
5.Gaya geser & momen lenturSedang
P1​ = 55 kNP2​ = 20 kNABC6 m2 m1 m

Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 1 m melewati B hingga ujung bebas C. Balok menahan beban terpusat P1 di antara tumpuan dan beban terpusat P2 di C. Cari gaya geser Vx tepat di kiri tumpuan B. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 9 mP1 = 55 kN di 6 mP2 = 20 kN di 9 mtumpuan di x = 0 dan x = 8 m
Vx = kN
6.Gaya geser & momen lenturSulit
30 kN35 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

30 kN @ 6 m35 kN @ 3 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Titik berat & momen inersiaSedang
120 mm150 mm60 mmØ40xIx​ = ?

Sebuah pelat 120 mm × 150 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 40 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 60 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 120 mmh = 150 mmd = 40 mmpusat lubang: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
1502201610xM = 100 kN·mdimensi dalam mm

Profil I simetris memiliki sayap selebar 150 mm dan setebal 16 mm, tinggi total 220 mm, dan badan setebal 10 mm. Penampang menahan momen lentur sebesar 100 kN·m terhadap sumbu x. Cari besar tegangan lentur σj di pertemuan badan dan sayap atas.

B = 150 mmH = 220 mmtf = 16 mmtw = 10 mmM = 100 kN·m
σj = MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 100σy​ = 20τxy​ = 30MPa

Suatu titik memiliki σₓ = 100 MPa, σᵧ = 20 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (tarik positif). Elemen diputar 25° berlawanan arah jarum jam. Cari tegangan normal σy′ pada muka elemen yang diputar yang tegak lurus sumbu y′ yang diputar.

σx = 100 MPaσy = 20 MPaτxy = 30 MPaθ = 25°
σy′ = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = 140σy​ = 0τxy​ = 50MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 140 MPa, σᵧ = 0 MPa, dan τₓᵧ = 50 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σθ pada bidang yang normalnya diputar 30° searah jarum jam dari sumbu x.

σx = 140 MPaσy = 0 MPaτxy = 50 MPaθ = -30°
σθ = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 20 kN/mδL = 2,5 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari lendutan maksimum δmax di tengah bentang.

w = 20 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 6 kN/mP = 17 kNδL = 1,5 m

Balok sederhana menahan beban merata w dan beban terpusat P di tengah bentang. Dengan superposisi, cari lendutan tengah δmax.

P = 17 kNw = 6 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Tekuk kolomSedang
PL = 5 m30 × 50 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 5 mE = 200 GPa (baja)b × h = 30 × 50 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
P = 50 kNL = 3 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Kolom harus menahan 50 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 50 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (baja)
d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 2,721 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 25·1000/78,54 = 318,3 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for tembaga = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 318,3/117000 = 0,002721 = 2721 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,002721·1000 mm = 2,721 mm

Jawaban

δ = 2,721 mm
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ2 = 8,252 MPa

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·706,9/300 = 471239 N/mm
k₂ = 70000·2827/300 = 659734 N/mm

Bagian segmen 2

F2 = 40000·659734/1,131 × 10⁶ = 23333 N

Tegangan

σ2 = 23333/2827 = 8,252 MPa (tekan)

Jawaban

σ2 = 8,252 MPa
3.Torsi poros

Jawaban: G = 80,06 GPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar dan sudut

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴
φ = 3,6·π/180 = 0,06283 rad

Modulus geser

T = 100 N·m = 100000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 100000·250/(4970·0,06283) = 80056 MPa
G = 80,06 GPa

Jawaban

G = 80,06 GPa

Bandingkan: baja ≈ 80 GPa, kuningan ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsi poros

Jawaban: τmax = 26,19 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 30000/104,7 = 286,5 N·m

Momen inersia polar

J = π(40⁴ − 24⁴)/32 = 218755 mm⁴

Tegangan geser maksimum

τmax = T·(do/2)/J = 286479·20/218755 = 26,19 MPa

Jawaban

τmax = 26,19 MPa
5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Vx = −43,75 kN

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok. Beban overstek juga memberi momen terhadap A.

ΣMA = 0: RB·8 = 55·6 + 20·9
RB = 510/8 = 63,75 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 63,75 = 11,25 kN

Potong tepat di kiri B dan ambil bagian kiri

Vx = RA − P1 = 11,25 − 55 = −43,75 kN

Jawaban

Vx = −43,75 kN
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: F (x = 5 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 8 kN, R2 = 57 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 8, MC = 16, MD = 24, ME = −3, MF = −30 kN·m, MG = 0

Jawaban

Tanda F: MF = −30 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 33,32 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (18000·75 − 1257·60)/(18000 − 1257) = 76,13 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

120·150³/12 + 18000·−1,126² = 33,77 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−16,13² = 0,4524 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 33,32 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 33,32 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σj = 169,1 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Persegi panjang luar dikurangi dua potongan samping

Kedua potongan bersama-sama selebar (B − tw) dan setinggi hw = H − 2tf, dan memakai sumbu x yang sama.

hw = 220 − 2·16 = 188 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (150·220³ − 140·188³)/12
Ix = 5,558 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

y = 110 − 16 = 94 mm
σ = M·y/I = 1 × 10⁸·94/5,558 × 10⁷ = 169,1 MPa

Jawaban

σj = 169,1 MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σy′ = 11,31 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi untuk muka y′

σy′ = 60 − 40·0,6428 − 30·0,766 = 11,31 MPa

Periksa

Jumlah tegangan normal tidak berubah karena rotasi.

σx′ = 108,7 MPa, σx′ + σy′ = 120 = σx + σy

Jawaban

σy′ = 11,31 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σθ = 61,7 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

σθ = 70 + 70·0,5 + 50·−0,866 = 61,7 MPa

Jawaban

σθ = 61,7 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 5,78 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2500 mm
EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2500⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 5,78 mm

Jawaban

δmax = 5,78 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 2,537 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 17000 N, w = 6 N/mm, L = 1500 mm, EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Setiap beban sendiri

δP = PL³/(48EI) = 17000·1500³/(48·6,27 × 10¹¹) = 1,906 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·1500⁴/(384·6,27 × 10¹¹) = 0,6308 mm

Jumlahkan

δmax = 1,906 + 0,6308 = 2,537 mm

Jawaban

δmax = 2,537 mm
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 8,883 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·5000 = 5000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/5000² = 8883 N = 8,883 kN

Jawaban

Pcr = 8,883 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 46,19 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 2·50000 = 100000 N
KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 46,19 mm

Jawaban

d = 46,19 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 181,9, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials