Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 10 mmTembaga2,5 mP = 15 kN

Cari pertambahan panjang δ batang tembaga akibat beban aksial.

P = 15 kNd = 10 mmL = 2,5 mE = 117 GPa
δ = mm
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 35 mmTembaga2 mØ 12 mmTembaga1 mP = 95 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σmax pada batang.

P = 95 kNsegmen 1: Ø35 mm, 2 m, tembaga (E = 117 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1 m, tembaga (E = 117 GPa)
σmax = MPa
3.Torsi porosSedang
d1​ = 50 mmd2​ = 25 mmT = 500 N·mABC0,8 m0,8 m

Poros baja pejal bertingkat dijepit di A. Segmen AB berdiameter 50 mm dan panjang 0,8 m; segmen BC berdiameter 25 mm dan panjang 0,8 m. Torsi 500 N·m bekerja di ujung bebas C. Cari tegangan geser maksimum τmax pada poros.

T = 500 N·md1 = 50 mm, L1 = 0,8 md2 = 25 mm, L2 = 0,8 m
τmax = MPa
4.Torsi porosSulit
Tdo​ = 60 mm, di​ = 48 mm

Poros berongga meneruskan 15 kW pada 1450 rpm. Cari tegangan geser maksimum τmax pada poros.

P = 15 kWN = 1450 rpmdo = 60 mmdi = 48 mm
τmax = MPa
5.Gaya geser & momen lenturSedang
50 kN30 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

50 kN @ 1 m30 kN @ 5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 12 kN/mAB5 m4 m1 m

Balok sederhana menahan beban merata pada sebagian bentangnya. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.

L = 10 mw = 12 kN/m dari 5 sampai 9 m
Mmax = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
120 mm240 mm84 mmØ40xIx​ = ?

Sebuah pelat 120 mm × 240 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 40 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 84 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 120 mmh = 240 mmd = 40 mmpusat lubang: y = 84 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
3001524016xM = 25 kN·mdimensi dalam mm

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 25 kN·m. Cari tegangan lentur σbawah di tepi bawah.

bf = 300 mmtf = 15 mmtw = 16 mmhw = 240 mmM = 25 kN·m
σbawah = MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 50σy​ = −20MPaτxy​ = ?

Suatu titik memiliki σₓ = 50 MPa dan σᵧ = −20 MPa. Seberapa besar tegangan geser τxy (besarnya) dapat meningkat sebelum tegangan utama terbesar mencapai 110 MPa?

σx = 50 MPaσy = −20 MPaσ1 = 110 MPa
τxy = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​τxy​permukaan poros

Poros pejal berdiameter 25 mm menahan gaya tarik aksial sebesar 40 kN bersama torsi 200 N·m. Di permukaan poros, cari tegangan utama terbesar σ1.

d = 25 mmF = 40 kNT = 200 N·m
σ1 = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 5 kN/mP = 3 kNABδ4 m

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P di ujung bebasnya. Dengan superposisi, cari lendutan δ di ujung bebas.

P = 3 kNw = 5 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (baja)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 3 kN/mABδ4 m

Balok kayu sederhana berpenampang persegi panjang selebar 125 mm menahan beban merata w di seluruh bentang. Lendutan tengah bentangnya tidak boleh melebihi bentang/250. Cari tinggi terkecil hreq penampang.

w = 3 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (kayu struktural)b = 125 mm
hreq = mm
13.Tekuk kolomSedang
PL = 1 md = 80 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 1 mE = 200 GPa (baja)d = 80 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 5 md = 80 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (baja)d = 80 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 4,081 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 15·1000/78,54 = 191 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for tembaga = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 191/117000 = 0,001632 = 1632 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,001632·2500 mm = 4,081 mm

Jawaban

δ = 4,081 mm
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σmax = 840 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 98,74 MPa
σ2 = 840 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σmax = 840 MPa

Jawaban

σmax = 840 MPa
3.Torsi poros

Jawaban: τmax = 163 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Tegangan pada tiap segmen

T = 500 N·m = 500000 N·mm
τAB = 16·500000/(π·50³) = 20,37 MPa
τBC = 16·500000/(π·25³) = 163 MPa

Jawaban

τmax = 163 MPa
4.Torsi poros

Jawaban: τmax = 3,945 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 15000/151,8 = 98,79 N·m

Momen inersia polar

J = π(60⁴ − 48⁴)/32 = 751193 mm⁴

Tegangan geser maksimum

τmax = T·(do/2)/J = 98786·30/751193 = 3,945 MPa

Jawaban

τmax = 3,945 MPa
5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: B (x = 1 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 46,67 kN, R2 = 33,33 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 46,67 kN·m, MC = 43,33, MD = 40, ME = 36,67, MF = 33,33, MG = 0

Jawaban

Tanda B: MB = 46,67 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 80,64 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, bekerja di x̄ = 7 m
ΣMA = 0: RB·10 = 12·4·7
RB = 336/10 = 33,6 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 33,6 = 14,4 kN

Gaya geser nol

Gaya geser mulai dari RA, tetap konstan di bagian yang tidak dibebani, dan turun dengan kemiringan w di dalam beban.

RA − w·(x0 − 5) = 0
x0 = 5 + 14,4/12 = 6,2 m

Momen maksimum

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 5)²/2 = 14,4·6,2 − 12·1,2²/2 = 80,64 kN·m

Jawaban

Mmax = 80,64 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 136,4 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (28800·120 − 1257·84)/(28800 − 1257) = 121,6 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

120·240³/12 + 28800·−1,642² = 138,3 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−37,64² = 1,906 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 136,4 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 136,4 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σbawah = 90,42 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 300·15 = 4500 mm², yf = 240 + 15/2 = 247,5 mm
badan: Aw = 16·240 = 3840 mm², yw = 240/2 = 120 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4500·247,5 + 3840·120)/8340 = 188,8 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 300·15³/12 + 4500·(247,5 − 188,8)² = 1,559 × 10⁷ mm⁴
badan: 16·240³/12 + 3840·(120 − 188,8)² = 3,661 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,559 × 10⁷ + 3,661 × 10⁷ = 5,22 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi bawah berjarak ȳ dari sumbu.

y = 188,8 mm
σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·188,8/5,22 × 10⁷ = 90,42 MPa

Jawaban

σbawah = 90,42 MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τxy = 88,32 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari yang diperlukan

C = (50 + (−20))/2 = 15 MPa
R = σ1 − C = 110 − 15 = 95 MPa
στxyCσ1​σ2​

Tegangan geser

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(95² − 35²) = 88,32 MPa

Jawaban

τxy = 88,32 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ1 = 117,6 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Tegangan di permukaan

σ = F/A = 40000/(π·25²/4) = 40000/490,9 = 81,49 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·200000/(π·25³) = 65,19 MPa
στxyCσ1​σ2​

Lingkaran Mohr

C = σ/2 = 40,74 MPa
R = √(40,74² + 65,19²) = 76,87 MPa
σ1 = C + R = 117,6 MPa
σ2 = C − R = −36,13 MPa

Jawaban

σ1 = 117,6 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δ = 48,7 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 3000 N, w = 5 N/mm, L = 4000 mm
EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Setiap beban sendiri

δP = PL³/(3EI) = 3000·4000³/(3·4,6 × 10¹²) = 13,91 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 5·4000⁴/(8·4,6 × 10¹²) = 34,78 mm

Jumlahkan

δ = 13,91 + 34,78 = 48,7 mm

Jawaban

δ = 48,7 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: hreq = 176 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

Batas lendutan

δallow = L/250 = 4000/250 = 16 mm

Momen inersia yang diperlukan

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·3·4000⁴/(384·11000·16) = 5,682 × 10⁷ mm⁴

Tinggi yang diperlukan

bh³/12 = Ireq → h = (12·5,682 × 10⁷/125)1/3 = 176 mm

Jawaban

hreq = 176 mm

Dalam praktik, pilih tinggi standar berikutnya di atas nilai ini.

13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 992,2 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·1000 = 2000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/2000² = 992201 N = 992,2 kN

Jawaban

Pcr = 992,2 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 31,58 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 1·5000 = 5000 mm
KL/r = 5000/20 = 250

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/250² = 31,58 MPa

Jawaban

σcr = 31,58 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials