Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 40 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari tembaga (diameter 50 mm, panjang 400 mm, E = 120 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,4 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: tembaga, Ø50 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 30 kNsegmen 1: Ø25 mm, 1,5 m, baja (E = 200 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1 m, tembaga (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torsi porosSedang

Poros pejal baja dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 250 N·md = 25 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros berongga meneruskan 100 kW pada 1000 rpm. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

P = 100 kWN = 1000 rpmd_o = 75 mmd_i = 45 mm

τ_max = MPa

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

40 kN @ 10 m40 kN @ 8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 9,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 10 mP = 50 kN di 9 mw = 8 kN/m dari 0 sampai 10 mx = 9,5 m

M_x = kN·m

7.Titik berat & momen inersiaSedang

Profil I simetris memiliki sayap selebar 230 mm dan setebal 12 mm, tinggi total 480 mm, dan badan setebal 10 mm. Cari momen inersianya I_x terhadap sumbu titik berat horizontal x.

B = 230 mmH = 480 mmt_f = 12 mmt_w = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersiaSulit

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 30 kN·m. Cari tegangan lentur σ_bawah di tepi bawah.

b_f = 300 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 300 mmM = 30 kN·m

σ_bawah = MPa

9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 160 MPa, σᵧ = 110 MPa, dan τₓᵧ = 40 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τ_max.

σ_x = 160 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 70 MPa, σᵧ = 60 MPa, dan τₓᵧ = −40 MPa (σ_z = 0). Bahan memiliki kekuatan luluh 420 MPa. Cari faktor keamanan n terhadap luluh menurut kriteria von Mises (energi distorsi).

σ_x = 70 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −40 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

11.Lendutan balokSedang

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang. Cari lendutan δ di ujung bebas.

w = 5 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (baja)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban merata w dan beban terpusat P di tengah bentang. Dengan superposisi, cari lendutan tengah δ_max.

P = 29 kNw = 20 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (baja)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 97,92 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1963 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2,387 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·1963) = 1,698 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,4/4,085 × 10⁻⁶ = 97920 N = 97,92 kN

Jawaban

P = 97,92 kN

2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 1,734 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 61,12 MPa

σ₂ = 149,2 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 61,12·1500/200000 = 0,4584 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 149,2·1000/117000 = 1,275 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,734 mm

Jawaban

δ = 1,734 mm

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 5,603 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1200/(80000·38350) = 0,09778 rad

φ = 0,09778·180/π = 5,603°

Jawaban

φ = 5,603°

4.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 13,24 MPa

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 100000/104,7 = 954,9 N·m

Momen inersia polar

J = π(75⁴ − 45⁴)/32 = 2,704 × 10⁶ mm⁴

Tegangan geser maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 954930·37,5/2,704 × 10⁶ = 13,24 MPa

Jawaban

τ_max = 13,24 MPa

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: E (x = 8 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 20 kN, R₂ = 60 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = 40, M_C = 80, M_D = 120, M_E = 160 kN·m, M_F = 120, M_G = 0

Jawaban

Tanda E: M_E = 160 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 41,5 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, bekerja di x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 50·9 + 8·10·5

R_B = 850/10 = 85 kN

ΣF_y = 0: R_A = 130 − 85 = 45 kN

Potong di x = 9,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 45·9,5 − 50·(9,5 − 9) − 8·9,5·4,75 = 41,5 kN·m

Jawaban

M_x = 41,5 kN·m

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 381,3 × 10⁶ mm⁴

Momen inersia penampang: untuk persegi panjang terhadap sumbu titik beratnya sendiri I = bh³/12, dan terhadap alasnya bh³/3 (teorema sumbu sejajar I = I_c + A·d²). Lubang diperhitungkan dengan mengurangkan I-nya, asalkan kedua bagian memakai sumbu yang sama. Modulus penampang elastis adalah S = I/c, dengan c jarak ke serat terluar.

Persegi panjang luar dikurangi dua potongan samping

Kedua potongan bersama-sama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan memakai sumbu x yang sama.

h_w = 480 − 2·12 = 456 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (230·480³ − 220·456³)/12

I_x = 3,813 × 10⁸ mm⁴ = 381,3 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 381,3 × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σ_bawah = 99,7 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 300·10 = 3000 mm², y_f = 300 + 10/2 = 305 mm

badan: A_w = 12·300 = 3600 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·305 + 3600·150)/6600 = 220,5 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 300·10³/12 + 3000·(305 − 220,5)² = 2,147 × 10⁷ mm⁴

badan: 12·300³/12 + 3600·(150 − 220,5)² = 4,487 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,147 × 10⁷ + 4,487 × 10⁷ = 6,634 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi bawah berjarak ȳ dari sumbu.

y = 220,5 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·220,5/6,634 × 10⁷ = 99,7 MPa

Jawaban

σ_bawah = 99,7 MPa

9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_max = 47,17 MPa

Jari-jari lingkaran Mohr

τ_max = R = √(((160 − 110)/2)² + 40²) = 47,17 MPa

Jawaban

τ_max = 47,17 MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: n = 4,403

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σ_Y/2.

Tegangan utama

C = 65 MPa, R = 40,31 MPa

σ₁ = 105,3 MPa, σ₂ = 24,69 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(105,3² − 105,3·24,69 + 24,69²) = 95,39 MPa

n = 420/95,39 = 4,403

Jawaban

n = 4,403

n > 1 berarti titik tersebut tidak luluh; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

11.Lendutan balok

Jawaban: δ = 66,67 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 4000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δ = wL⁴/(8EI) = 5·4000⁴/(8·2,4 × 10¹²) = 66,67 mm

Jawaban

δ = 66,67 mm

12.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 20,9 mm

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 29000 N, w = 20 N/mm, L = 5000 mm, EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Setiap beban sendiri

δ_P = PL³/(48EI) = 29000·5000³/(48·1,14 × 10¹³) = 6,625 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·5000⁴/(384·1,14 × 10¹³) = 14,28 mm

Jumlahkan

δ_max = 6,625 + 14,28 = 20,9 mm

Jawaban

δ_max = 20,9 mm

13.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 3,312 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·1000 = 2000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/2000² = 3312 N = 3,312 kN

Jawaban

P_cr = 3,312 kN

14.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 79,31 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/15 = 93,33

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/93,33² = 79,31 MPa

Jawaban

σ_cr = 79,31 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials