Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
100 kNØ40120 GPaØ100/70600 mmδ = ?

Sebuah batang baja (diameter 40 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari tembaga (diameter luar 100 mm, diameter dalam 70 mm, E = 120 GPa). Keduanya panjangnya 600 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 100 kN. Cari pemendekan δ.

P = 100 kNbatang: Ø40 mm, E = 200 GPatabung: Ø100/Ø70 mm, E = 120 GPaL = 600 mm
δ = mm
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 30 mmKuningan2 mØ 12 mmTembaga1 mP = 80 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σmax pada batang.

P = 80 kNsegmen 1: Ø30 mm, 2 m, kuningan (E = 100 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1 m, tembaga (E = 117 GPa)
σmax = MPa
3.Torsi porosSedang
T = 400 N·md = 30 mmL = 0,8 mφ = ?

Poros pejal kuningan dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 400 N·md = 30 mmL = 0,8 mG = 39 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
do​ = ?50 kW, 1800 rpm

Poros berongga harus meneruskan 50 kW pada 1800 rpm. Diameter dalamnya ditetapkan 0,8 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 75 MPa. Cari diameter luar terkecil do.

P = 50 kWN = 1800 rpmdi/do = 0,8τallow = 75 MPa
do = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
15 kN15 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

15 kN @ 4 m15 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 2 kN/mP = 55 kNABpotongan5 m5 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 10 mP = 55 kN di 5 mw = 2 kN/m dari 0 sampai 10 mx = 5 m
Mx = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
2003014018xdimensi dalam mm

Cari momen inersia Ix penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

bf = 200 mmtf = 30 mmtw = 18 mmhw = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
120300182201814xdimensi dalam mm

Profil I las memiliki sayap atas 120 × 18 mm, badan setinggi 220 mm dan setebal 14 mm, dan sayap bawah 300 × 18 mm (lebar × tebal). Cari momen inersianya Ix terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

sayap atas: 120 × 18 mmbadan: 14 × 220 mmsayap bawah: 300 × 18 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 50σy​ = 110τxy​ = −60MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 50 MPa, σᵧ = 110 MPa, dan τₓᵧ = −60 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τmax.

σx = 50 MPaσy = 110 MPaτxy = −60 MPa
τmax = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​τxy​permukaan atas poros

Poros pejal berdiameter 60 mm menahan momen lentur sebesar 500 N·m bersama torsi 2000 N·m. Di permukaan atas, tempat tegangan lentur bersifat tarik dan paling besar, cari tegangan utama terbesar σ1.

d = 60 mmM = 500 N·mT = 2000 N·m
σ1 = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 12 kN/mδL = 4 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari lendutan maksimum δmax di tengah bentang.

w = 12 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 2 kN/mδL = 6 m

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil Ireq yang memenuhi batas ini.

w = 2 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (kayu struktural)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolomSedang
PL = 3 md = 80 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 2 md = 25 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,08197 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·4006 = 7,32 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 100000·600/7,32 × 10⁸ = 0,08197 mm

Jawaban

δ = 0,08197 mm
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σmax = 707,4 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 113,2 MPa
σ2 = 707,4 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σmax = 707,4 MPa

Jawaban

σmax = 707,4 MPa
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 5,912 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 400·1000·800/(39000·79522) = 0,1032 rad
φ = 0,1032·180/π = 5,912°

Jawaban

φ = 5,912°
4.Torsi poros

Jawaban: do = 31,25 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s
T = P/ω = 50000/188,5 = 265,3 N·m

Diameter luar dari tegangan izin

T = 265,3 N·m = 265258 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·265258/(π·75·0,5904)) = 31,25 mm
di = 0,8·31,25 = 25 mm

Jawaban

do = 31,25 mm

Poros pejal memerlukan d = 26,21 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: C (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 22,5 kN, R2 = 7,5 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 45, MC = 60 kN·m, MD = 45, ME = 30, MF = 15, MG = 0

Jawaban

Tanda C: MC = 60 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 162,5 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, bekerja di x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 55·5 + 2·10·5
RB = 375/10 = 37,5 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 37,5 = 37,5 kN
w = 2 kN/mP = 55 kNABRA​ = 37,5RB​ = 37,5potongan5 m5 m

Potong di x = 5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 37,5·5 − 2·5·2,5 = 162,5 kN·m

Jawaban

Mx = 162,5 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 17,39 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 200·30 = 6000 mm², yf = 140 + 30/2 = 155 mm
badan: Aw = 18·140 = 2520 mm², yw = 140/2 = 70 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (6000·155 + 2520·70)/8520 = 129,9 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 200·30³/12 + 6000·(155 − 129,9)² = 4,242 × 10⁶ mm⁴
badan: 18·140³/12 + 2520·(70 − 129,9)² = 1,315 × 10⁷ mm⁴
Ix = 4,242 × 10⁶ + 1,315 × 10⁷ = 1,739 × 10⁷ mm⁴ = 17,39 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 17,39 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 105,7 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi tiga persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap atas: A = 2160 mm², y = 247 mm
badan: A = 3080 mm², y = 128 mm
sayap bawah: A = 5400 mm², y = 9 mm

Titik berat

ȳ = (2160·247 + 3080·128 + 5400·9)/10640 = 91,76 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap atas: 120·18³/12 + 2160·155,2² = 5,211 × 10⁷ mm⁴
badan: 14·220³/12 + 3080·36,24² = 1,647 × 10⁷ mm⁴
sayap bawah: 300·18³/12 + 5400·82,76² = 3,713 × 10⁷ mm⁴
Ix = 5,211 × 10⁷ + 1,647 × 10⁷ + 3,713 × 10⁷
Ix = 1,057 × 10⁸ mm⁴ = 105,7 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 105,7 × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τmax = 67,08 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCτmax​

Jari-jari lingkaran Mohr

τmax = R = √(((50 − 110)/2)² + −60²) = 67,08 MPa

Jawaban

τmax = 67,08 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ1 = 60,4 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Tegangan di permukaan

σ = 32M/(πd³) = 32·500000/(π·60³) = 23,58 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·60³) = 47,16 MPa
στxyCσ1​σ2​

Lingkaran Mohr

C = σ/2 = 11,79 MPa
R = √(11,79² + 47,16²) = 48,61 MPa
σ1 = C + R = 60,4 MPa
σ2 = C − R = −36,82 MPa

Jawaban

σ1 = 60,4 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 24,84 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·4000⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 24,84 mm

Jawaban

δmax = 24,84 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: Ireq = 184,1 × 10⁶ mm⁴

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Batas lendutan

δallow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·6000⁴/(384·11000·16,67) = 1,841 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 184,1 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ireq = 184,1 × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 315 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/2100² = 314984 N = 315 kN

Jawaban

Pcr = 315 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 6,747 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 1·2000 = 2000 mm
KL/r = 2000/6,25 = 320

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/320² = 6,747 MPa

Jawaban

σcr = 6,747 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials