Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 20 mmAluminium2 mP = 60 kN

Cari pertambahan panjang δ batang aluminium akibat beban aksial.

P = 60 kNd = 20 mmL = 2 mE = 70 GPa
δ = mm
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 25 mmBaja0,5 mØ 12 mmAluminium2 mP = 75 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 75 kNsegmen 1: Ø25 mm, 0,5 m, baja (E = 200 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)
δ = mm
3.Torsi porosSedang
T = 200 N·md = 20 mmL = 2,5 mφ = ?

Poros pejal baja dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 200 N·md = 20 mmL = 2,5 mG = 80 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
Td = ?

Poros pejal harus meneruskan 10 kW pada 500 rpm tanpa tegangan geser melebihi 50 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 10 kWN = 500 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
4 kN/m20 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

20 kN @ 4 m4 kN/m, 2–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 24 kN/mAB3 m3 m

Balok sederhana menahan beban merata pada sebagian bentangnya. Cari jarak x0 dari A ke potongan tempat momen lentur paling besar.

L = 6 mw = 24 kN/m dari 0 sampai 3 m
x0 = m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
120 mm240 mm168 mmØ60xIx​ = ?

Sebuah pelat 120 mm × 240 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 60 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 168 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 120 mmh = 240 mmd = 60 mmpusat lubang: y = 168 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
120400186xM = 80 kN·mdimensi dalam mm

Profil I simetris memiliki sayap selebar 120 mm dan setebal 18 mm, tinggi total 400 mm, dan badan setebal 6 mm. Penampang menahan momen lentur sebesar 80 kN·m terhadap sumbu x. Cari besar tegangan lentur σj di pertemuan badan dan sayap atas.

B = 120 mmH = 400 mmtf = 18 mmtw = 6 mmM = 80 kN·m
σj = MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σy​ = −40MPaτxy​ = ?

Suatu titik memiliki σₓ = 0 MPa dan σᵧ = −40 MPa. Seberapa besar tegangan geser τxy (besarnya) dapat meningkat sebelum tegangan utama terbesar mencapai 35 MPa?

σx = 0 MPaσy = −40 MPaσ1 = 35 MPa
τxy = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = −60σy​ = 110τxy​ = 20MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −60 MPa, σᵧ = 110 MPa, dan τₓᵧ = 20 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σθ pada bidang yang normalnya diputar 15° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σx = −60 MPaσy = 110 MPaτxy = 20 MPaθ = 15°
σθ = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 10 kN/mP = 3 kNABδ2 m

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P di ujung bebasnya. Dengan superposisi, cari lendutan δ di ujung bebas.

P = 3 kNw = 10 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 6 kN/mδL = 2 m

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil Ireq yang memenuhi batas ini.

w = 6 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (kayu struktural)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolomSedang
PL = 2 m40 × 50 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 2 mE = 200 GPa (baja)b × h = 40 × 50 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 3 md = 30 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 5,457 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 60·1000/314,2 = 191 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 191/70000 = 0,002728 = 2728 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,002728·2000 mm = 5,457 mm

Jawaban

δ = 5,457 mm
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 19,33 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 152,8 MPa
σ2 = 663,1 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ1 = σ1L1/E1 = 152,8·500/200000 = 0,382 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 663,1·2000/70000 = 18,95 mm
δ = δ1 + δ2 = 19,33 mm

Jawaban

δ = 19,33 mm
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 22,8 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2500/(80000·15708) = 0,3979 rad
φ = 0,3979·180/π = 22,8°

Jawaban

φ = 22,8°
4.Torsi poros

Jawaban: d = 26,89 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s
T = P/ω = 10000/52,36 = 191 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·190986/(π·50)) = 26,89 mm

Jawaban

d = 26,89 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: E (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 12 kN, R2 = 24 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 12, MC = 24, MD = 34, ME = 40 kN·m, MF = 22, MG = 0

Jawaban

Tanda E: ME = 40 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: x0 = 2,25 m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 24·3 = 72 kN, bekerja di x̄ = 1,5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 24·3·1,5
RB = 108/6 = 18 kN
ΣFy = 0: RA = 72 − 18 = 54 kN

Gaya geser nol

Gaya geser mulai dari RA, tetap konstan di bagian yang tidak dibebani, dan turun dengan kemiringan w di dalam beban.

RA − w·(x0 − 0) = 0
x0 = 0 + 54/24 = 2,25 m

Jawaban

x0 = 2,25 m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 130,4 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (28800·120 − 2827·168)/(28800 − 2827) = 114,8 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

120·240³/12 + 28800·5,225² = 139 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·60⁴/64 + 2827·53,23² = 8,646 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 130,4 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 130,4 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σj = 80,08 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Persegi panjang luar dikurangi dua potongan samping

Kedua potongan bersama-sama selebar (B − tw) dan setinggi hw = H − 2tf, dan memakai sumbu x yang sama.

hw = 400 − 2·18 = 364 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (120·400³ − 114·364³)/12
Ix = 1,818 × 10⁸ mm⁴

Tegangan lentur

y = 200 − 18 = 182 mm
σ = M·y/I = 8 × 10⁷·182/1,818 × 10⁸ = 80,08 MPa

Jawaban

σj = 80,08 MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τxy = 51,23 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari yang diperlukan

C = (0 + (−40))/2 = −20 MPa
R = σ1 − C = 35 − (−20) = 55 MPa
στxyCσ1​σ2​

Tegangan geser

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(55² − 20²) = 51,23 MPa

Jawaban

τxy = 51,23 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σθ = −38,61 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

σθ = 25 + −85·0,866 + 20·0,5 = −38,61 MPa

Jawaban

σθ = −38,61 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δ = 70,71 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 3000 N, w = 10 N/mm, L = 2000 mm
EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Setiap beban sendiri

δP = PL³/(3EI) = 3000·2000³/(3·3,96 × 10¹¹) = 20,2 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 10·2000⁴/(8·3,96 × 10¹¹) = 50,51 mm

Jumlahkan

δ = 20,2 + 50,51 = 70,71 mm

Jawaban

δ = 70,71 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: Ireq = 20,45 × 10⁶ mm⁴

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Batas lendutan

δallow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·6·2000⁴/(384·11000·5,556) = 2,045 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 20,45 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ireq = 20,45 × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 131,6 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·2000 = 2000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/2000² = 131595 N = 131,6 kN

Jawaban

Pcr = 131,6 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 8,812 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 0,7·3000 = 2100 mm
KL/r = 2100/7,5 = 280

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/280² = 8,812 MPa

Jawaban

σcr = 8,812 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials