Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 30 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari kuningan (diameter 30 mm, panjang 200 mm, E = 100 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,4 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuningan, Ø30 mm, 200 mm, E = 100 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 80 kNsegmen 1: Ø30 mm, 1 m, kuningan (E = 100 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1 m, tembaga (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torsi porosSedang

Poros pejal aluminium dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 250 N·md = 30 mmL = 1,2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros kuningan pejal meneruskan 10 kW pada 500 rpm. Tegangan geser tidak boleh melebihi 60 MPa dan puntiran tidak boleh melebihi 0,5° per m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua batas.

P = 10 kWN = 500 rpmτ_allow = 60 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

50 kN @ 2 m12 kN/m, 4–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 2 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 5 mP = 20 kN di 2 mw = 4 kN/m dari 0 sampai 5 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Titik berat & momen inersiaSedang

Sebuah pelat 120 mm × 300 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 60 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 90 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 120 mmh = 300 mmd = 60 mmpusat lubang: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersiaSulit

Sebuah pelat 120 mm × 240 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 60 mm dan setinggi 20 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 96 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 120 mmh = 240 mmpotongan: 60 × 20 mmpusat lubang: y = 96 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −10 MPa, σᵧ = −80 MPa, dan τₓᵧ = −50 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τ_max.

σ_x = −10 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −50 MPa

τ_max = MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Tangki silinder berdinding tipis dengan diameter dalam 1200 mm dan tebal dinding 10 mm berisi gas bertekanan gauge 0,8 MPa. Tangki dibuat dari pelat yang dilas sepanjang kampuh heliks bersudut 55° terhadap sumbu silinder. Cari besar tegangan geser |τ_n| yang bekerja sepanjang kampuh las.

D = 1200 mmt = 10 mmp = 0,8 MPaα = 55°

|τ_n| = MPa

11.Lendutan balokSedang

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang. Cari lendutan δ di ujung bebas.

w = 5 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil I_req yang memenuhi batas ini.

w = 12 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (kayu struktural)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (baja)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 70,69 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706,9) = 2,829 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(100000·706,9) = 2,829 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,4/5,659 × 10⁻⁶ = 70686 N = 70,69 kN

Jawaban

P = 70,69 kN

2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 7,178 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 113,2 MPa

σ₂ = 707,4 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 113,2·1000/100000 = 1,132 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 707,4·1000/117000 = 6,046 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 7,178 mm

Jawaban

δ = 7,178 mm

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 8,314 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1200/(26000·79522) = 0,1451 rad

φ = 0,1451·180/π = 8,314°

Jawaban

φ = 8,314°

4.Torsi poros

Jawaban: d = 48,9 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 10000/52,36 = 191 N·m

Diameter berdasarkan kekuatan

T = 191 N·m = 190986 N·mm

d_τ = ∛(16·190986/(π·60)) = 25,31 mm

Diameter berdasarkan kekakuan

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·190986/(π·39000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 48,9 mm

Diameter yang menentukan

Kedua batas harus terpenuhi, jadi diameter yang lebih besar yang menentukan.

d = max(25,31, 48,9) = 48,9 mm

Jawaban

d = 48,9 mm

Di sini kekakuan yang menentukan.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: D (x = 6 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 73,67 kN, R₂ = 72,33 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = 147,3, M_C = 194,7, M_D = 218 kN·m, M_E = 193,3, M_F = 120,7, M_G = 0

Jawaban

Tanda D: M_D = 218 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 36 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·2 + 4·5·2,5

R_B = 90/5 = 18 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 18 = 22 kN

Potong di x = 2 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 22·2 − 4·2·1 = 36 kN·m

Jawaban

M_x = 36 kN·m

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 258,3 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki I_c = bh³/12 dan lingkaran I_c = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (36000·150 − 2827·90)/(36000 − 2827) = 155,1 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

120·300³/12 + 36000·−5,114² = 270,9 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−65,11² = 12,62 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 258,3 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 258,3 × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 137,5 × 10⁶ mm⁴

Titik berat

ȳ = (28800·120 − 1200·96)/(28800 − 1200) = 121 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

120·240³/12 + 28800·−1,043² = 138,3 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

60·20³/12 + 1200·−25,04² = 0,7926 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 137,5 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 137,5 × 10⁶ mm⁴

9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_max = 61,03 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari lingkaran Mohr

τ_max = R = √(((−10 − −80)/2)² + −50²) = 61,03 MPa

Jawaban

τ_max = 61,03 MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: |τ_n| = 11,28 MPa

Tegangan dinding

r = 1200/2 = 600 mm

σ_h = pr/t = 0,8·600/10 = 48 MPa

σ_a = pr/(2t) = 24 MPa

Transformasikan ke kampuh

Ambil x sepanjang sumbu (σ_a) dan y mengelilingi keliling (σ_h). Normal kampuh membentuk 90° − α dengan sumbu.

|τ_n| = (48 − 24)·sin 55°·cos 55° = 11,28 MPa

Jawaban

|τ_n| = 11,28 MPa

11.Lendutan balok

Jawaban: δ = 4,52 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Lendutan

δ = wL⁴/(8EI) = 5·3000⁴/(8·1,12 × 10¹³) = 4,52 mm

Jawaban

δ = 4,52 mm

12.Lendutan balok

Jawaban: I_req = 40,91 × 10⁶ mm⁴

Batas lendutan

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·2000⁴/(384·11000·5,556) = 4,091 × 10⁷ mm⁴

I_req = 40,91 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_req = 40,91 × 10⁶ mm⁴

13.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 12,56 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2500² = 12558 N = 12,56 kN

Jawaban

P_cr = 12,56 kN

14.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 11,99 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·1500 = 3000 mm

KL/r = 3000/12,5 = 240

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/240² = 11,99 MPa

Jawaban

σ_cr = 11,99 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials