Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
P = ?12300 mm200 mmØ20Ø40δ = 0,3 mm

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 20 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari perunggu (diameter 40 mm, panjang 200 mm, E = 110 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,3 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: perunggu, Ø40 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0,3 mm
P = kN
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 35 mmBaja0,5 mØ 12 mmTembaga1,5 mP = 55 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σmax pada batang.

P = 55 kNsegmen 1: Ø35 mm, 0,5 m, baja (E = 200 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1,5 m, tembaga (E = 117 GPa)
σmax = MPa
3.Torsi porosSedang
d = ?T = 750 N·mL = 0,8 m

Poros kuningan pejal sepanjang 0,8 m menahan torsi 750 N·m. Sudut puntir antara kedua ujungnya tidak boleh melebihi 1°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi batas ini.

T = 750 N·mL = 0,8 mG = 39 GPaφallow = 1°
d = mm
4.Torsi porosSulit
d = 30 mmT0​ = 200 N·mACBa = 0,8 mb = 1 m

Poros aluminium pejal berdiameter 30 mm dijepit pada dinding kaku di kedua ujung A dan B. Torsi 200 N·m diberikan di C, 0,8 m dari A dan 1 m dari B. Cari sudut rotasi φC penampang C, dalam derajat.

d = 30 mmT0 = 200 N·ma = 0,8 mb = 1 mG = 26 GPa
φC = °
5.Gaya geser & momen lenturSedang
10 kN/m35 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

35 kN @ 3 m10 kN/m, 0–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 3 kN/mP = 45 kNABpotongan1,5 m4,5 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 1,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 6 mP = 45 kN di 1,5 mw = 3 kN/m dari 0 sampai 6 mx = 1,5 m
Mx = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
xD = 250d = 242dimensi dalam mm

Pipa bulat memiliki diameter luar D = 250 mm dan diameter dalam d = 242 mm. Cari jari-jari girasinya r terhadap sumbu titik berat horizontal.

D = 250 mmd = 242 mm
r = mm
8.Titik berat & momen inersiaSulit
180302608xM = 15 kN·mdimensi dalam mm

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 15 kN·m. Cari tegangan lentur σbawah di tepi bawah.

bf = 180 mmtf = 30 mmtw = 8 mmhw = 260 mmM = 15 kN·m
σbawah = MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 140MPaτxy​ = ?

Suatu titik memiliki σₓ = 140 MPa dan σᵧ = 0 MPa. Seberapa besar tegangan geser τxy (besarnya) dapat meningkat sebelum tegangan utama terbesar mencapai 170 MPa?

σx = 140 MPaσy = 0 MPaσ1 = 170 MPa
τxy = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = −50σy​ = 20τxy​ = 40MPa

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = −50 MPa, σᵧ = 20 MPa, dan τₓᵧ = 40 MPa (σz = 0). Bahan memiliki kekuatan luluh 250 MPa. Cari faktor keamanan n terhadap luluh menurut kriteria Tresca (tegangan geser maksimum).

σx = −50 MPaσy = 20 MPaτxy = 40 MPaσY = 250 MPa
n =
11.Lendutan balokSedang
P = 22 kNABδ1,5 m0,5 m

Kantilever sepanjang L dijepit di A dan menahan beban terpusat P pada jarak a = 1,5 m dari A. Cari lendutan δP di bawah beban.

P = 22 kNa = 1,5 mL = 2 mE = 200 GPa (baja)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 10 kN/mδL = 6 m

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil Ireq yang memenuhi batas ini.

w = 10 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (baja)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolomSedang
PL = 3 md = 80 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 3 mE = 200 GPa (baja)d = 80 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
P = 80 kNL = 2 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Kolom harus menahan 80 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 80 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (baja)
d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 48,22 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1257 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·314,2) = 4,775 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·1257) = 1,447 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,3/6,222 × 10⁻⁶ = 48220 N = 48,22 kN

Jawaban

P = 48,22 kN
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σmax = 486,3 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 57,17 MPa
σ2 = 486,3 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σmax = 486,3 MPa

Jawaban

σmax = 486,3 MPa
3.Torsi poros

Jawaban: d = 54,74 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar yang diperlukan

T = 750 N·m = 750000 N·mm
L = 0,8 m = 800 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 1·π/180 = 0,01745 rad
J = TL/(Gφ) = 750000·800/(39000·0,01745) = 881474 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)1/4 = 54,74 mm

Jawaban

d = 54,74 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

4.Torsi poros

Jawaban: φC = 2,463 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω. Jika kedua ujung dijepit, statika saja hanya memberi TA + TB = T₀; persamaan kedua adalah kompatibilitas (puntiran kedua bagian sama di penampang yang dibebani).

Kesetimbangan dan kompatibilitas

TA + TB = 200
TA·a = TB·b
TA = 200·1/1,8 = 111,1 N·m
TB = 200·0,8/1,8 = 88,89 N·m

Rotasi C

Gunakan segmen AC: dijepit di A dan menahan TA.

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
G = 26 GPa = 26000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 111111·800/(26000·79522) = 0,04299 rad = 2,463°

Jawaban

φC = 2,463°
5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: D (x = 3 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 47,5 kN, R2 = 47,5 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 42,5, MC = 75, MD = 97,5 kN·m, ME = 75, MF = 42,5, MG = 0

Jawaban

Tanda D: MD = 97,5 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 60,75 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, bekerja di x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 45·1,5 + 3·6·3
RB = 121,5/6 = 20,25 kN
ΣFy = 0: RA = 63 − 20,25 = 42,75 kN
w = 3 kN/mP = 45 kNABRA​ = 42,75RB​ = 20,25potongan1,5 m4,5 m

Potong di x = 1,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 42,75·1,5 − 3·1,5·0,75 = 60,75 kN·m

Jawaban

Mx = 60,75 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: r = 86,99 mm

Momen inersia penampang: untuk persegi panjang terhadap sumbu titik beratnya sendiri I = bh³/12, dan terhadap alasnya bh³/3 (teorema sumbu sejajar I = Ic + A·d²). Lubang diperhitungkan dengan mengurangkan I-nya, asalkan kedua bagian memakai sumbu yang sama. Modulus penampang elastis adalah S = I/c, dengan c jarak ke serat terluar. Jari-jari girasi r = √(I/A) adalah jarak tempat seluruh luas akan memberi I yang sama; besaran ini dipakai pada tekuk kolom.

Luas bersih dan momen inersia

A = π(D² − d²)/4 = 3091 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 2,339 × 10⁷ mm⁴

Jari-jari girasi

r = √(I/A) = √(2,339 × 10⁷/3091) = 86,99 mm

Jawaban

r = 86,99 mm
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σbawah = 80,57 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 180·30 = 5400 mm², yf = 260 + 30/2 = 275 mm
badan: Aw = 8·260 = 2080 mm², yw = 260/2 = 130 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5400·275 + 2080·130)/7480 = 234,7 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 180·30³/12 + 5400·(275 − 234,7)² = 9,184 × 10⁶ mm⁴
badan: 8·260³/12 + 2080·(130 − 234,7)² = 3,451 × 10⁷ mm⁴
Ix = 9,184 × 10⁶ + 3,451 × 10⁷ = 4,369 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi bawah berjarak ȳ dari sumbu.

y = 234,7 mm
σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·234,7/4,369 × 10⁷ = 80,57 MPa

Jawaban

σbawah = 80,57 MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τxy = 71,41 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari yang diperlukan

C = (140 + 0)/2 = 70 MPa
R = σ1 − C = 170 − 70 = 100 MPa
στxyCσ1​σ2​

Tegangan geser

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(100² − 70²) = 71,41 MPa

Jawaban

τxy = 71,41 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: n = 2,352

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σY; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Tegangan utama

C = −15 MPa, R = 53,15 MPa
σ1 = 38,15 MPa, σ2 = −68,15 MPa, σ3 = 0

Tresca

σmax − σmin = 106,3 MPa
n = 250/106,3 = 2,352

Jawaban

n = 2,352

n > 1 berarti titik tersebut tidak luluh; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

11.Lendutan balok

Jawaban: δP = 14,56 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 22000 N, a = 1500 mm, L = 2000 mm
EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Lendutan di bawah beban

δP = Pa³/(3EI) = 22000·1500³/(3·1,7 × 10¹²) = 14,56 mm

Jawaban

δP = 14,56 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: Ireq = 50,63 × 10⁶ mm⁴

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Batas lendutan

δallow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·10·6000⁴/(384·200000·16,67) = 5,063 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 50,63 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ireq = 50,63 × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 900 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/2100² = 899955 N = 900 kN

Jawaban

Pcr = 900 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 50,7 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 2·80000 = 160000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·160000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 50,7 mm

Jawaban

d = 50,7 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 157,8, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials