Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari regangan aksial ε pada batang kuningan, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 45 kNd = 20 mmL = 3 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 20 kNsegmen 1: Ø35 mm, 1,5 m, kuningan (E = 100 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 2 m, kuningan (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torsi porosSedang

Poros berongga harus menahan torsi 200 N·m. Diameter dalamnya ditetapkan 0,7 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 60 MPa. Cari diameter luar terkecil d_o.

T = 200 N·md_i/d_o = 0,7τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

4.Torsi porosSulit

Poros kuningan pejal berdiameter 60 mm dijepit pada dinding kaku di kedua ujung A dan B. Torsi 750 N·m diberikan di C, 1,5 m dari A dan 0,8 m dari B. Cari torsi reaksi T_A di dinding A.

d = 60 mmT₀ = 750 N·ma = 1,5 mb = 0,8 m

T_A = N·m

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Kantilever dijepit di A. Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P pada jarak 2 m dari A. Cari momen lentur M_x pada potongan x = 1 m dari tumpuan jepit A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 3 mP = 35 kN di 2 mw = 5 kN/m dari 0 sampai 3 mx = 1 m

M_x = kN·m

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 7 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 8 mP = 60 kN di 3 mw = 4 kN/m dari 0 sampai 8 mx = 7 m

M_x = kN·m

7.Titik berat & momen inersiaSedang

Sebuah pelat 120 mm × 300 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 50 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 180 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 120 mmh = 300 mmd = 50 mmpusat lubang: y = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersiaSulit

Profil I simetris memiliki sayap selebar 180 mm dan setebal 24 mm, tinggi total 360 mm, dan badan setebal 6 mm. Penampang menahan momen lentur sebesar 60 kN·m terhadap sumbu x. Cari besar tegangan lentur maksimum σ_max pada penampang.

B = 180 mmH = 360 mmt_f = 24 mmt_w = 6 mmM = 60 kN·m

σ_max = MPa

9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = 50 MPa dan σᵧ = 100 MPa. Seberapa besar tegangan geser τ_xy (besarnya) dapat meningkat sebelum tegangan utama terbesar mencapai 115 MPa?

σ_x = 50 MPaσ_y = 100 MPaσ₁ = 115 MPa

τ_xy = MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 50 MPa, σᵧ = −80 MPa, dan τₓᵧ = −10 MPa (σ_z = 0). Bahan memiliki kekuatan luluh 350 MPa. Cari faktor keamanan n terhadap luluh menurut kriteria von Mises (energi distorsi).

σ_x = 50 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −10 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

11.Lendutan balokSedang

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari lendutan maksimum δ_max di tengah bentang.

w = 8 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada b = 1,5 m dari tumpuan B. Cari lendutan maksimum δ_max balok.

P = 18 kNb = 1,5 mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Kolom harus menahan 70 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 70 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 1432 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 45·1000/314,2 = 143,2 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for kuningan = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 143,2/100000 = 0,001432 = 1432 µε

Jawaban

ε = 1432 µε

2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 2,301 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 20,79 MPa

σ₂ = 99,47 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 20,79·1500/100000 = 0,3118 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 99,47·2000/100000 = 1,989 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,301 mm

Jawaban

δ = 2,301 mm

3.Torsi poros

Jawaban: d_o = 28,16 mm

Diameter luar dari tegangan izin

T = 200 N·m = 200000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·200000/(π·60·0,7599)) = 28,16 mm

d_i = 0,7·28,16 = 19,71 mm

Jawaban

d_o = 28,16 mm

Poros pejal memerlukan d = 25,7 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

4.Torsi poros

Jawaban: T_A = 260,9 N·m

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω. Jika kedua ujung dijepit, statika saja hanya memberi T_A + T_B = T₀; persamaan kedua adalah kompatibilitas (puntiran kedua bagian sama di penampang yang dibebani).

Kesetimbangan dan kompatibilitas

T_A + T_B = 750

T_A·a = T_B·b

T_A = 750·0,8/2,3 = 260,9 N·m

T_B = 750·1,5/2,3 = 489,1 N·m

Jawaban

T_A = 260,9 N·m

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = −45 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Ambil bagian ujung bebas

P: −35·1 = −35 kN·m

w: −5·2²/2 = −10 kN·m

M_x = −35 − 10 = −45 kN·m

Jawaban

M_x = −45 kN·m

Negatif berarti momen negatif: sisi atas tertarik.

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 36,5 kN·m

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, bekerja di x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 60·3 + 4·8·4

R_B = 308/8 = 38,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 92 − 38,5 = 53,5 kN

Potong di x = 7 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 53,5·7 − 60·(7 − 3) − 4·7·3,5 = 36,5 kN·m

Jawaban

M_x = 36,5 kN·m

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 267,8 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki I_c = bh³/12 dan lingkaran I_c = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (36000·150 − 1963·180)/(36000 − 1963) = 148,3 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

120·300³/12 + 36000·1,731² = 270,1 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·50⁴/64 + 1963·31,73² = 2,284 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 267,8 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 267,8 × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σ_max = 41,63 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Persegi panjang luar dikurangi dua potongan samping

Kedua potongan bersama-sama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan memakai sumbu x yang sama.

h_w = 360 − 2·24 = 312 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (180·360³ − 174·312³)/12

I_x = 2,595 × 10⁸ mm⁴

Tegangan lentur

y = 180 mm

σ = M·y/I = 6 × 10⁷·180/2,595 × 10⁸ = 41,63 MPa

Jawaban

σ_max = 41,63 MPa

9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_xy = 31,22 MPa

Jari-jari yang diperlukan

C = (50 + 100)/2 = 75 MPa

R = σ₁ − C = 115 − 75 = 40 MPa

Tegangan geser

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(40² − 25²) = 31,22 MPa

Jawaban

τ_xy = 31,22 MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: n = 3,046

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σ_Y/2.

Tegangan utama

C = −15 MPa, R = 65,76 MPa

σ₁ = 50,76 MPa, σ₂ = −80,76 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(50,76² − 50,76·(−80,76) + (−80,76)²) = 114,9 MPa

n = 350/114,9 = 3,046

Jawaban

n = 3,046

n > 1 berarti titik tersebut tidak luluh; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

11.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 50,79 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 8000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·8000⁴/(384·8,4 × 10¹²) = 50,79 mm

Jawaban

δ_max = 50,79 mm

12.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 5,533 mm

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 18000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Letak maksimum

Menyamakan kemiringan pada segmen yang lebih panjang dengan nol memberi letaknya.

x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1500²)/3) = 2141 mm

Defleksi maksimum

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 5,533 mm

Jawaban

δ_max = 5,533 mm

13.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 52,99 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·1000 = 2000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/2000² = 52989 N = 52,99 kN

Jawaban

P_cr = 52,99 kN

14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 78,87 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·70000 = 210000 N

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 78,87 mm

Jawaban

d = 78,87 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 126,8, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials