Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
200 kNØ30100 GPaØ100/50300 mmδ = ?

Sebuah batang baja (diameter 30 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari kuningan (diameter luar 100 mm, diameter dalam 50 mm, E = 100 GPa). Keduanya panjangnya 300 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 200 kN. Cari pemendekan δ.

P = 200 kNbatang: Ø30 mm, E = 200 GPatabung: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 300 mm
δ = mm
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 35 mmBaja1 mØ 20 mmAluminium2 mP = 10 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σmax pada batang.

P = 10 kNsegmen 1: Ø35 mm, 1 m, baja (E = 200 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)
σmax = MPa
3.Torsi porosSedang
do​ = 40, di​ = 20 mmT = 200 N·mL = 1,2 m

Poros baja berongga (diameter luar 40 mm, diameter dalam 20 mm, panjang 1,2 m) dijepit di satu ujung dan dipuntir oleh torsi 200 N·m di ujung lainnya. Cari sudut puntir φ dalam derajat.

T = 200 N·mdo = 40 mmdi = 20 mmL = 1,2 mG = 80 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
d = ?30 kW, 1500 rpm

Poros aluminium pejal meneruskan 30 kW pada 1500 rpm. Tegangan geser tidak boleh melebihi 40 MPa dan puntiran tidak boleh melebihi 0,75° per m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua batas.

P = 30 kWN = 1500 rpmτallow = 40 MPaθallow = 0,75°/mG = 26 GPa
d = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
15 kN/m10 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

10 kN @ 6 m15 kN/m, 0–12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 8 kN/mAB2 m2 m2 m

Balok sederhana menahan beban merata pada sebagian bentangnya. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.

L = 6 mw = 8 kN/m dari 2 sampai 4 m
Mmax = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
150 mm150 mm52,5 mmØ40xIx​ = ?

Sebuah pelat 150 mm × 150 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 40 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 52,5 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 150 mmh = 150 mmd = 40 mmpusat lubang: y = 52,5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
1001014014xM = 30 kN·mdimensi dalam mm

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 30 kN·m. Cari besar tegangan lentur σatas di tepi atas.

bf = 100 mmtf = 10 mmtw = 14 mmhw = 140 mmM = 30 kN·m
σatas = MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = −10σy​ = −50τxy​ = 10MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −10 MPa, σᵧ = −50 MPa, dan τₓᵧ = 10 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τmax.

σx = −10 MPaσy = −50 MPaτxy = 10 MPa
τmax = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = −70σy​ = 0τxy​ = −40MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −70 MPa, σᵧ = 0 MPa, dan τₓᵧ = −40 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σθ pada bidang yang normalnya diputar 60° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σx = −70 MPaσy = 0 MPaτxy = −40 MPaθ = 60°
σθ = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 10 kN/mδL = 3 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari lendutan maksimum δmax di tengah bentang.

w = 10 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (baja)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 6 kN/mδL = 6 m

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil Ireq yang memenuhi batas ini.

w = 6 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolomSedang
PL = 1,5 m20 × 60 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 60 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
P = 120 kNL = 5 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Kolom harus menahan 120 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 120 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (baja)
d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,08214 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·5890 = 7,304 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 200000·300/7,304 × 10⁸ = 0,08214 mm

Jawaban

δ = 0,08214 mm
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σmax = 31,83 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 10,39 MPa
σ2 = 31,83 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σmax = 31,83 MPa

Jawaban

σmax = 31,83 MPa
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 0,7295 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π(40⁴ − 20⁴)/32 = 235619 mm⁴

Sudut puntir

T = 200 N·m = 200000 N·mm
L = 1,2 m = 1200 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = TL/(GJ) = 200000·1200/(80000·235619) = 0,01273 rad
φ = 0,01273·180/π = 0,7295°

Jawaban

φ = 0,7295°
4.Torsi poros

Jawaban: d = 48,9 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T = P/ω = 30000/157,1 = 191 N·m

Diameter berdasarkan kekuatan

T = 191 N·m = 190986 N·mm
dτ = ∛(16·190986/(π·40)) = 28,97 mm

Diameter berdasarkan kekakuan

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·190986/(π·26000·1,309 × 10⁻⁵))1/4 = 48,9 mm

Diameter yang menentukan

Kedua batas harus terpenuhi, jadi diameter yang lebih besar yang menentukan.

d = max(28,97, 48,9) = 48,9 mm

Jawaban

d = 48,9 mm

Di sini kekakuan yang menentukan.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: D (x = 6 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 95 kN, R2 = 95 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 160, MC = 260, MD = 300 kN·m, ME = 260, MF = 160, MG = 0

Jawaban

Tanda D: MD = 300 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 20 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 8·2 = 16 kN, bekerja di x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 8·2·3
RB = 48/6 = 8 kN
ΣFy = 0: RA = 16 − 8 = 8 kN

Gaya geser nol

Gaya geser mulai dari RA, tetap konstan di bagian yang tidak dibebani, dan turun dengan kemiringan w di dalam beban.

RA − w·(x0 − 2) = 0
x0 = 2 + 8/8 = 3 m

Momen maksimum

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 2)²/2 = 8·3 − 8·1²/2 = 20 kN·m

Jawaban

Mmax = 20 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 41,39 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (22500·75 − 1257·52,5)/(22500 − 1257) = 76,33 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

150·150³/12 + 22500·−1,331² = 42,23 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−23,83² = 0,8393 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 41,39 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 41,39 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σatas = 236,5 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 100·10 = 1000 mm², yf = 140 + 10/2 = 145 mm
badan: Aw = 14·140 = 1960 mm², yw = 140/2 = 70 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1000·145 + 1960·70)/2960 = 95,34 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 100·10³/12 + 1000·(145 − 95,34)² = 2,475 × 10⁶ mm⁴
badan: 14·140³/12 + 1960·(70 − 95,34)² = 4,46 × 10⁶ mm⁴
Ix = 2,475 × 10⁶ + 4,46 × 10⁶ = 6,934 × 10⁶ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi atas berjarak h − ȳ dari sumbu.

y = 150 − 95,34 = 54,66 mm
σ = M·y/I = 3 × 10⁷·54,66/6,934 × 10⁶ = 236,5 MPa

Jawaban

σatas = 236,5 MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τmax = 22,36 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCτmax​

Jari-jari lingkaran Mohr

τmax = R = √(((−10 − −50)/2)² + 10²) = 22,36 MPa

Jawaban

τmax = 22,36 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σθ = −52,14 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

σθ = −35 + −35·−0,5 + −40·0,866 = −52,14 MPa

Jawaban

σθ = −52,14 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 4,395 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 3000 mm
EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·3000⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 4,395 mm

Jawaban

δmax = 4,395 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: Ireq = 86,79 × 10⁶ mm⁴

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Batas lendutan

δallow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·6·6000⁴/(384·70000·16,67) = 8,679 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 86,79 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ireq = 86,79 × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 25,07 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·40000/1050² = 25066 N = 25,07 kN

Jawaban

Pcr = 25,07 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 98,17 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 3·120000 = 360000 N
KL = 1·5000 = 5000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·360000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 98,17 mm

Jawaban

d = 98,17 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 203,7, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials