Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 30 mmKuningan2 mP = 85 kN

Cari pertambahan panjang δ batang kuningan akibat beban aksial.

P = 85 kNd = 30 mmL = 2 mE = 100 GPa
δ = mm
2.Tegangan & regangan aksialSulit
P = ?Ø20110 GPaØ100/60500 mm

Sebuah batang baja (diameter 20 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 200 MPa) berada di dalam tabung dari perunggu (diameter luar 100 mm, diameter dalam 60 mm, E = 110 GPa, tegangan izin 50 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar Pmax.

batang: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPatabung: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
3.Torsi porosSedang
T = 400 N·md = 40 mmL = 2,5 mφ = ?

Poros pejal kuningan dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 400 N·md = 40 mmL = 2,5 mG = 39 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
d = 40 mmT0​ = 500 N·mACBa = 1 mb = 3 m

Poros kuningan pejal berdiameter 40 mm dijepit pada dinding kaku di kedua ujung A dan B. Torsi 500 N·m diberikan di C, 1 m dari A dan 3 m dari B. Cari tegangan geser maksimum τmax pada poros.

d = 40 mmT0 = 500 N·ma = 1 mb = 3 m
τmax = MPa
5.Gaya geser & momen lenturSedang
35 kN45 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

35 kN @ 3 m45 kN @ 1 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 8 kN/mP = 55 kNABpotongan0,5 m1 m4,5 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 0,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 6 mP = 55 kN di 1,5 mw = 8 kN/m dari 0 sampai 6 mx = 0,5 m
Mx = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
160180t = 12ȳ = ?dimensi dalam mm

Profil kanal diletakkan dengan sisi terbuka ke atas: pelat dasar selebar 160 mm dengan dua kaki tegak, setinggi total 180 mm. Dasar dan kaki semuanya setebal 12 mm. Cari tinggi ȳ titik berat di atas tepi bawah.

b = 160 mmh = 180 mmt = 12 mm
ȳ = mm
8.Titik berat & momen inersiaSulit
1605001612xM = 100 kN·mdimensi dalam mm

Profil I simetris memiliki sayap selebar 160 mm dan setebal 16 mm, tinggi total 500 mm, dan badan setebal 12 mm. Penampang menahan momen lentur sebesar 100 kN·m terhadap sumbu x. Cari besar tegangan lentur maksimum σmax pada penampang.

B = 160 mmH = 500 mmtf = 16 mmtw = 12 mmM = 100 kN·m
σmax = MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = −70σy​ = −70τxy​ = −40MPa

Suatu titik memiliki σₓ = −70 MPa, σᵧ = −70 MPa, dan τₓᵧ = −40 MPa (tarik positif). Elemen diputar 15° berlawanan arah jarum jam. Cari tegangan normal σy′ pada muka elemen yang diputar yang tegak lurus sumbu y′ yang diputar.

σx = −70 MPaσy = −70 MPaτxy = −40 MPaθ = 15°
σy′ = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = −20σy​ = −10τxy​ = −30MPa

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = −20 MPa, σᵧ = −10 MPa, dan τₓᵧ = −30 MPa (σz = 0). Bahan memiliki kekuatan luluh 350 MPa. Cari faktor keamanan n terhadap luluh menurut kriteria Tresca (tegangan geser maksimum).

σx = −20 MPaσy = −10 MPaτxy = −30 MPaσY = 350 MPa
n =
11.Lendutan balokSedang
w = 10 kN/mABθ4 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari kemiringan θA balok di tumpuan A, dalam radian.

w = 10 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 120 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.Lendutan balokSulit
w = 12 kN/mδL = 6 m

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil Ireq yang memenuhi batas ini.

w = 12 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolomSedang
PL = 4 m40 × 50 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 4 mE = 200 GPa (baja)b × h = 40 × 50 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 4 md = 25 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 2,405 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 85·1000/706,9 = 120,3 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for kuningan = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 120,3/100000 = 0,001203 = 1203 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,001203·2000 mm = 2,405 mm

Jawaban

δ = 2,405 mm
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: Pmax = 279,9 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

Ar = π·20²/4 = 314,2 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·5027 = 6,158 × 10⁸ N

Regangan penentu

ε = min(0,001, 0,0004545) = 0,0004545 (perunggu)

Beban terbesar

Pmax = 0,0004545·6,158 × 10⁸ = 279887 N = 279,9 kN

Jawaban

Pmax = 279,9 kN
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 5,845 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 400·1000·2500/(39000·251327) = 0,102 rad
φ = 0,102·180/π = 5,845°

Jawaban

φ = 5,845°
4.Torsi poros

Jawaban: τmax = 29,84 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω. Jika kedua ujung dijepit, statika saja hanya memberi TA + TB = T₀; persamaan kedua adalah kompatibilitas (puntiran kedua bagian sama di penampang yang dibebani).

Kesetimbangan dan kompatibilitas

TA + TB = 500
TA·a = TB·b
TA = 500·3/4 = 375 N·m
TB = 500·1/4 = 125 N·m

Tegangan geser maksimum

Yang lebih besar dari kedua torsi yang menentukan (diameter sama).

τmax = 16·375000/(π·40³) = 29,84 MPa

Jawaban

τmax = 29,84 MPa
5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: D (x = 3 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 55 kN, R2 = 25 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 55, MC = 65, MD = 75 kN·m, ME = 50, MF = 25, MG = 0

Jawaban

Tanda D: MD = 75 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 31,63 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, bekerja di x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 55·1,5 + 8·6·3
RB = 226,5/6 = 37,75 kN
ΣFy = 0: RA = 103 − 37,75 = 65,25 kN
w = 8 kN/mP = 55 kNABRA​ = 65,25RB​ = 37,75potongan0,5 m1 m4,5 m

Potong di x = 0,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 65,25·0,5 − 8·0,5·0,25 = 31,63 kN·m

Jawaban

Mx = 31,63 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: ȳ = 66,97 mm

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi persegi panjang

Ambil dasar selebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), sehingga tidak ada yang terhitung dua kali.

basis: A1 = 160·12 = 1920 mm², y1 = 6 mm
dua kaki: A2 = 2·12·168 = 4032 mm², y2 = 12 + 168/2 = 96 mm

Titik berat

ȳ = (1920·6 + 4032·96)/5952 = 66,97 mm

Jawaban

ȳ = 66,97 mm
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σmax = 62,12 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Persegi panjang luar dikurangi dua potongan samping

Kedua potongan bersama-sama selebar (B − tw) dan setinggi hw = H − 2tf, dan memakai sumbu x yang sama.

hw = 500 − 2·16 = 468 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (160·500³ − 148·468³)/12
Ix = 4,025 × 10⁸ mm⁴

Tegangan lentur

y = 250 mm
σ = M·y/I = 1 × 10⁸·250/4,025 × 10⁸ = 62,12 MPa

Jawaban

σmax = 62,12 MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σy′ = −50 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi untuk muka y′

σy′ = −70 − 0·0,866 − (−40)·0,5 = −50 MPa

Periksa

Jumlah tegangan normal tidak berubah karena rotasi.

σx′ = −90 MPa, σx′ + σy′ = −140 = σx + σy

Jawaban

σy′ = −50 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: n = 5,754

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σY; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Tegangan utama

C = −15 MPa, R = 30,41 MPa
σ1 = 15,41 MPa, σ2 = −45,41 MPa, σ3 = 0

Tresca

σmax − σmin = 60,83 MPa
n = 350/60,83 = 5,754

Jawaban

n = 5,754

n > 1 berarti titik tersebut tidak luluh; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

11.Lendutan balok

Jawaban: θA = 0,0202 rad

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi). Kemiringan θ = dv/dx adalah integral pertama dari M/(EI); dengan satuan yang konsisten hasilnya dalam radian.

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Kemiringan ujung

θA = wL³/(24EI) = 10·4000³/(24·1,32 × 10¹²) = 0,0202 rad

Jawaban

θA = 0,0202 rad

Itu sama dengan 1,157°.

12.Lendutan balok

Jawaban: Ireq = 173,6 × 10⁶ mm⁴

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Batas lendutan

δallow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·6000⁴/(384·70000·16,67) = 1,736 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 173,6 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ireq = 173,6 × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 32,9 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·4000 = 4000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/4000² = 32899 N = 32,9 kN

Jawaban

Pcr = 32,9 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 6,747 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 0,5·4000 = 2000 mm
KL/r = 2000/6,25 = 320

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/320² = 6,747 MPa

Jawaban

σcr = 6,747 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials