Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
50 kNØ20110 GPaØ120/70400 mmδ = ?

Sebuah batang baja (diameter 20 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari perunggu (diameter luar 120 mm, diameter dalam 70 mm, E = 110 GPa). Keduanya panjangnya 400 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 50 kN. Cari pemendekan δ.

P = 50 kNbatang: Ø20 mm, E = 200 GPatabung: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 400 mm
δ = mm
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 30 mmAluminium2 mØ 12 mmKuningan1 mP = 55 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 55 kNsegmen 1: Ø30 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1 m, kuningan (E = 100 GPa)
δ = mm
3.Torsi porosSedang
T = 200 N·md = 20 mmL = 0,8 mφ = ?

Poros pejal aluminium dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 200 N·md = 20 mmL = 0,8 mG = 26 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
Tdo​ = 75 mm, di​ = 60 mm

Poros berongga meneruskan 100 kW pada 1500 rpm. Cari tegangan geser maksimum τmax pada poros.

P = 100 kWN = 1500 rpmdo = 75 mmdi = 60 mm
τmax = MPa
5.Gaya geser & momen lenturSedang
w = 8 kN/mABpotongan1 m7 m

Cari gaya geser Vx pada potongan x = 1 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 8 mw = 8 kN/m dari 0 sampai 8 mx = 1 m
Vx = kN
6.Gaya geser & momen lenturSulit
6 kN/m20 kN10 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

20 kN @ 6 m10 kN @ 1 m6 kN/m, 0–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Titik berat & momen inersiaSedang
22080t = 8xdimensi dalam mm

Profil kanal diletakkan dengan sisi terbuka ke atas: pelat dasar selebar 220 mm dengan dua kaki tegak, setinggi total 80 mm. Dasar dan kaki semuanya setebal 8 mm. Cari momen inersianya Ix terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

b = 220 mmh = 80 mmt = 8 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
100 mm300 mm180 mm40 × 50xIx​ = ?

Sebuah pelat 100 mm × 300 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 40 mm dan setinggi 50 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 180 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 100 mmh = 300 mmpotongan: 40 × 50 mmpusat lubang: y = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 60σy​ = 30τxy​ = 60MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 60 MPa, σᵧ = 30 MPa, dan τₓᵧ = 60 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τmax.

σx = 60 MPaσy = 30 MPaτxy = 60 MPa
τmax = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = 30σy​ = 110τxy​ = 60MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 30 MPa, σᵧ = 110 MPa, dan τₓᵧ = 60 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σθ pada bidang yang normalnya diputar 20° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σx = 30 MPaσy = 110 MPaτxy = 60 MPaθ = 20°
σθ = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 12 kN/mδL = 2 m

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang. Cari lendutan δ di ujung bebas.

w = 12 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (baja)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 20 kN/mδL = 2 m

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil Ireq yang memenuhi batas ini.

w = 20 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (baja)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolomSedang
PL = 6 md = 60 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 5 md = 30 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (baja)d = 30 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,02264 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

Ar = π·20²/4 = 314,2 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·7461 = 8,836 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 50000·400/8,836 × 10⁸ = 0,02264 mm

Jawaban

δ = 0,02264 mm
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 7,086 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 77,81 MPa
σ2 = 486,3 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ1 = σ1L1/E1 = 77,81·2000/70000 = 2,223 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 486,3·1000/100000 = 4,863 mm
δ = δ1 + δ2 = 7,086 mm

Jawaban

δ = 7,086 mm
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 22,45 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 200·1000·800/(26000·15708) = 0,3918 rad
φ = 0,3918·180/π = 22,45°

Jawaban

φ = 22,45°
4.Torsi poros

Jawaban: τmax = 13,02 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T = P/ω = 100000/157,1 = 636,6 N·m

Momen inersia polar

J = π(75⁴ − 60⁴)/32 = 1,834 × 10⁶ mm⁴

Tegangan geser maksimum

τmax = T·(do/2)/J = 636620·37,5/1,834 × 10⁶ = 13,02 MPa

Jawaban

τmax = 13,02 MPa
5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Vx = 24 kN

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, bekerja di x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 8·8·4
RB = 256/8 = 32 kN
ΣFy = 0: RA = 64 − 32 = 32 kN
w = 8 kN/mABRA​ = 32RB​ = 32potongan1 m7 m

Potong di x = 1 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

V = RA − (semua beban ke bawah di kiri potongan)
Vx = 32 − 8·1 = 24 kN

Jawaban

Vx = 24 kN
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: E (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 9,5 kN, R2 = 44,5 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 6,5, MC = −3, MD = −18,5, ME = −40 kN·m, MF = −20, MG = 0

Jawaban

Tanda E: ME = −40 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 1,621 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi persegi panjang

Ambil dasar selebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), sehingga tidak ada yang terhitung dua kali.

basis: A1 = 220·8 = 1760 mm², y1 = 4 mm
dua kaki: A2 = 2·8·72 = 1152 mm², y2 = 8 + 72/2 = 44 mm

Titik berat

ȳ = (1760·4 + 1152·44)/2912 = 19,82 mm

Teorema sumbu sejajar

basis: 220·8³/12 + 1760·(4 − 19,82)² = 450099 mm⁴
dua kaki: 2·8·72³/12 + 1152·(44 − 19,82)² = 1,171 × 10⁶ mm⁴
Ix = 450099 + 1,171 × 10⁶
Ix = 1,621 × 10⁶ mm⁴ = 1,621 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 1,621 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 222,7 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (30000·150 − 2000·180)/(30000 − 2000) = 147,9 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

100·300³/12 + 30000·2,143² = 225,1 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

40·50³/12 + 2000·32,14² = 2,483 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 222,7 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 222,7 × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τmax = 61,85 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCτmax​

Jari-jari lingkaran Mohr

τmax = R = √(((60 − 30)/2)² + 60²) = 61,85 MPa

Jawaban

τmax = 61,85 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σθ = 77,93 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

σθ = 70 + −40·0,766 + 60·0,6428 = 77,93 MPa

Jawaban

σθ = 77,93 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δ = 1 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 2000 mm
EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Lendutan

δ = wL⁴/(8EI) = 12·2000⁴/(8·2,4 × 10¹³) = 1 mm

Jawaban

δ = 1 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: Ireq = 3,75 × 10⁶ mm⁴

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Batas lendutan

δallow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·20·2000⁴/(384·200000·5,556) = 3,75 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 3,75 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ireq = 3,75 × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 24,92 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/4200² = 24916 N = 24,92 kN

Jawaban

Pcr = 24,92 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 17,77 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 0,5·5000 = 2500 mm
KL/r = 2500/7,5 = 333,3

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/333,3² = 17,77 MPa

Jawaban

σcr = 17,77 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials