Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari regangan aksial ε pada batang tembaga, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 75 kNd = 30 mmL = 1,5 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 85 kNsegmen 1: Ø30 mm, 0,5 m, tembaga (E = 117 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1,5 m, kuningan (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torsi porosSedang

Poros baja pejal bertingkat dijepit di A. Segmen AB berdiameter 40 mm dan panjang 1 m; segmen BC berdiameter 25 mm dan panjang 1,5 m. Torsi 100 N·m bekerja di ujung bebas C. Cari sudut puntir φ_C ujung C, dalam derajat.

T = 100 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 1 md₂ = 25 mm, L₂ = 1,5 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Torsi porosSulit

Poros baja pejal berdiameter 25 mm dijepit pada dinding kaku di kedua ujung A dan B. Torsi 400 N·m diberikan di C, 0,5 m dari A dan 2 m dari B. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

d = 25 mmT₀ = 400 N·ma = 0,5 mb = 2 m

τ_max = MPa

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 6 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 8 mw = 10 kN/m dari 0 sampai 8 mx = 6 m

M_x = kN·m

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang dan beban terpusat P. Cari momen lentur maksimum M_max pada balok.

L = 6 mP = 20 kN di 1 mw = 5 kN/m dari 0 sampai 6 m

M_max = kN·m

7.Titik berat & momen inersiaSedang

Cari momen inersia I_x penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

b_f = 180 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersiaSulit

Sebuah pelat 150 mm × 150 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 30 mm dan setinggi 20 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 90 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 150 mmh = 150 mmpotongan: 30 × 20 mmpusat lubang: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −80 MPa, σᵧ = 20 MPa, dan τₓᵧ = 40 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_p dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = −80 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_p = °

10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Poros pejal berdiameter 40 mm menahan gaya tekan aksial sebesar 40 kN bersama torsi 250 N·m. Di permukaan poros, cari tegangan utama terbesar σ₁.

d = 40 mmF = −40 kNT = 250 N·m

σ₁ = MPa

11.Lendutan balokSedang

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada a = 3 m dari tumpuan A. Cari lendutan δ_P di bawah beban.

P = 16 kNa = 3 mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Lendutan balokSulit

Balok kayu sederhana berpenampang persegi panjang selebar 100 mm menahan beban merata w di seluruh bentang. Lendutan tengah bentangnya tidak boleh melebihi bentang/250. Cari tinggi terkecil h_req penampang.

w = 2 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (kayu struktural)b = 100 mm

h_req = mm

13.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

14.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 45 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 45 kNn = 2,5L = 4 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 906,9 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 75·1000/706,9 = 106,1 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for tembaga = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 106,1/117000 = 0,0009069 = 906,9 µε

Jawaban

ε = 906,9 µε

2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 11,79 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 120,3 MPa

σ₂ = 751,6 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 120,3·500/117000 = 0,5139 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 751,6·1500/100000 = 11,27 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 11,79 mm

Jawaban

δ = 11,79 mm

3.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 3,086 °

Momen inersia polar

J₁ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

J₂ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Puntiran tiap segmen

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 100000·1000/(80000·251327) = 0,004974 rad

φ_BC = 100000·1500/(80000·38350) = 0,04889 rad

Puntiran total

φ_C = 0,004974 + 0,04889 = 0,05387 rad = 3,086°

Jawaban

φ_C = 3,086°

4.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 104,3 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω. Jika kedua ujung dijepit, statika saja hanya memberi T_A + T_B = T₀; persamaan kedua adalah kompatibilitas (puntiran kedua bagian sama di penampang yang dibebani).

Kesetimbangan dan kompatibilitas

T_A + T_B = 400

T_A·a = T_B·b

T_A = 400·2/2,5 = 320 N·m

T_B = 400·0,5/2,5 = 80 N·m

Tegangan geser maksimum

Yang lebih besar dari kedua torsi yang menentukan (diameter sama).

τ_max = 16·320000/(π·25³) = 104,3 MPa

Jawaban

τ_max = 104,3 MPa

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 60 kN·m

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, bekerja di x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·8·4

R_B = 320/8 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 40 = 40 kN

Potong di x = 6 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 40·6 − 10·6·3 = 60 kN·m

Jawaban

M_x = 60 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_max = 33,61 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, bekerja di x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 20·1 + 5·6·3

R_B = 110/6 = 18,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 18,33 = 31,67 kN

Di mana V = 0?

R_A − P − w·x₀ = 0 → x₀ = (31,67 − 20)/5 = 2,333 m

Momen maksimum

M_max = R_A·x₀ − P·(x₀ − 1) − w·x₀²/2 = 33,61 kN·m

Jawaban

M_max = 33,61 kN·m

Terjadi di x = 2,333 m dari A.

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 44,89 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 180·25 = 4500 mm², y_f = 240 + 25/2 = 252,5 mm

badan: A_w = 12·240 = 2880 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·252,5 + 2880·120)/7380 = 200,8 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 180·25³/12 + 4500·(252,5 − 200,8)² = 1,227 × 10⁷ mm⁴

badan: 12·240³/12 + 2880·(120 − 200,8)² = 3,262 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,227 × 10⁷ + 3,262 × 10⁷ = 4,489 × 10⁷ mm⁴ = 44,89 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 44,89 × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 42,03 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki I_c = bh³/12 dan lingkaran I_c = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (22500·75 − 600·90)/(22500 − 600) = 74,59 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

150·150³/12 + 22500·0,411² = 42,19 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

30·20³/12 + 600·15,41² = 0,1625 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 42,03 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 42,03 × 10⁶ mm⁴

9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_p = 70,67 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·40, −80 − 20) = 141,3°

Sudut pada elemen

θ_p = 70,67°

Jawaban

θ_p = 70,67°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ₁ = 9,562 MPa

Tegangan di permukaan

σ = F/A = −40000/(π·40²/4) = −40000/1257 = −31,83 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·40³) = 19,89 MPa

Lingkaran Mohr

C = σ/2 = −15,92 MPa

R = √((−15,92)² + 19,89²) = 25,48 MPa

σ₁ = C + R = 9,562 MPa

σ₂ = C − R = −41,39 MPa

Jawaban

σ₁ = 9,562 MPa

11.Lendutan balok

Jawaban: δ_P = 15,24 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 16000 N, a = 3000 mm, b = 2000 mm, L = 5000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Lendutan di bawah beban

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 16000·3000²·2000²/(3·2,52 × 10¹²·5000) = 15,24 mm

Jawaban

δ_P = 15,24 mm

12.Lendutan balok

Jawaban: h_req = 248,5 mm

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

Batas lendutan

δ_allow = L/250 = 6000/250 = 24 mm

Momen inersia yang diperlukan

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·6000⁴/(384·11000·24) = 1,278 × 10⁸ mm⁴

Tinggi yang diperlukan

bh³/12 = I_req → h = (12·1,278 × 10⁸/100)^1/3 = 248,5 mm

Jawaban

h_req = 248,5 mm

Dalam praktik, pilih tinggi standar berikutnya di atas nilai ini.

13.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 168,4 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·2500 = 2500 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/2500² = 168441 N = 168,4 kN

Jawaban

P_cr = 168,4 kN

14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 92,84 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2,5·45000 = 112500 N

KL = 2·4000 = 8000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·112500·8000²/(π³·200000))^(1/4) = 92,84 mm

Jawaban

d = 92,84 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 344,7, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials