Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
P = ?12600 mm200 mmØ25Ø60δ = 0,4 mm

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 25 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari aluminium (diameter 60 mm, panjang 200 mm, E = 70 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,4 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø60 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0,4 mm
P = kN
2.Tegangan & regangan aksialSulit
60 kN12400 mm300 mmØ20Ø50σ2​ = ?

Sebuah segmen baja (diameter 20 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari perunggu (diameter 50 mm, panjang 300 mm, E = 110 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 60 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ2 pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: perunggu, Ø50 mm, 300 mm, E = 110 GPaP = 60 kN
σ2 = MPa
3.Torsi porosSedang
d = 10 mmT = 30 N·m200 mmφ = 4,38°

Dalam uji torsi, spesimen pejal berdiameter 10 mm dipuntir oleh torsi 30 N·m. Kedua ujung panjang ukur 200 mm berputar 4,38° relatif satu sama lain (bahan masih elastis). Cari modulus geser G bahan.

T = 30 N·md = 10 mmL = 200 mmφ = 4,38°
G = GPa
4.Torsi porosSulit
do​ = ?5 kW, 750 rpm

Poros berongga harus meneruskan 5 kW pada 750 rpm. Diameter dalamnya ditetapkan 0,6 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 50 MPa. Cari diameter luar terkecil do.

P = 5 kWN = 750 rpmdi/do = 0,6τallow = 50 MPa
do = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
30 kN35 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

30 kN @ 5 m35 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 4 kN/mP = 25 kNABpotongan2,5 m3,5 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 2,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 6 mP = 25 kN di 2,5 mw = 4 kN/m dari 0 sampai 6 mx = 2,5 m
Mx = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
B = 280H = 325t = 10xdimensi dalam mm

Penampang persegi panjang berongga (kotak) memiliki lebar luar B = 280 mm, tinggi luar H = 325 mm, dan tebal dinding seragam t = 10 mm. Cari jari-jari girasinya r terhadap sumbu titik berat horizontal.

B = 280 mmH = 325 mmt = 10 mm
r = mm
8.Titik berat & momen inersiaSulit
120 mm300 mm180 mm40 × 20xIx​ = ?

Sebuah pelat 120 mm × 300 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 40 mm dan setinggi 20 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 180 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 120 mmh = 300 mmpotongan: 40 × 20 mmpusat lubang: y = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 70σy​ = 80τxy​ = −20MPa

Suatu titik memiliki σₓ = 70 MPa, σᵧ = 80 MPa, dan τₓᵧ = −20 MPa (tarik positif). Elemen diputar 35° berlawanan arah jarum jam. Cari tegangan normal σy′ pada muka elemen yang diputar yang tegak lurus sumbu y′ yang diputar.

σx = 70 MPaσy = 80 MPaτxy = −20 MPaθ = 35°
σy′ = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = −60σy​ = 110τxy​ = 10MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −60 MPa, σᵧ = 110 MPa, dan τₓᵧ = 10 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σθ pada bidang yang normalnya diputar 30° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σx = −60 MPaσy = 110 MPaτxy = 10 MPaθ = 30°
σθ = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 8 kN/mδL = 3 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari lendutan maksimum δmax di tengah bentang.

w = 8 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 2 kN/mP = 4 kNδL = 4 m

Balok sederhana menahan beban merata w dan beban terpusat P di tengah bentang. Dengan superposisi, cari lendutan tengah δmax.

P = 4 kNw = 2 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (baja)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Tekuk kolomSedang
PL = 2 md = 25 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 2 mE = 200 GPa (baja)d = 25 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
P = 80 kNL = 2 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 80 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 80 kNn = 2,5L = 2 mE = 200 GPa (baja)
d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 56,16 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·490,9) = 6,112 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·2827) = 1,011 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,4/7,122 × 10⁻⁶ = 56164 N = 56,16 kN

Jawaban

P = 56,16 kN
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ2 = 25,08 MPa

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·314,2/400 = 157080 N/mm
k₂ = 110000·1963/300 = 719948 N/mm

Bagian segmen 2

F2 = 60000·719948/877028 = 49254 N

Tegangan

σ2 = 49254/1963 = 25,08 MPa (tekan)

Jawaban

σ2 = 25,08 MPa
3.Torsi poros

Jawaban: G = 79,95 GPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar dan sudut

J = π·10⁴/32 = 981,7 mm⁴
φ = 4,38·π/180 = 0,07645 rad

Modulus geser

T = 30 N·m = 30000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 30000·200/(981,7·0,07645) = 79947 MPa
G = 79,95 GPa

Jawaban

G = 79,95 GPa

Bandingkan: baja ≈ 80 GPa, kuningan ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsi poros

Jawaban: do = 19,53 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s
T = P/ω = 5000/78,54 = 63,66 N·m

Diameter luar dari tegangan izin

T = 63,66 N·m = 63662 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·63662/(π·50·0,8704)) = 19,53 mm
di = 0,6·19,53 = 11,72 mm

Jawaban

do = 19,53 mm

Poros pejal memerlukan d = 18,65 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: E (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 16,67 kN, R2 = 48,33 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 16,67, MC = 33,33, MD = 50, ME = 66,67 kN·m, MF = 48,33, MG = 0

Jawaban

Tanda E: ME = 66,67 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 53,96 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, bekerja di x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 25·2,5 + 4·6·3
RB = 134,5/6 = 22,42 kN
ΣFy = 0: RA = 49 − 22,42 = 26,58 kN
w = 4 kN/mP = 25 kNABRA​ = 26,58RB​ = 22,42potongan2,5 m3,5 m

Potong di x = 2,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 26,58·2,5 − 4·2,5·1,25 = 53,96 kN·m

Jawaban

Mx = 53,96 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: r = 126,2 mm

Momen inersia penampang: untuk persegi panjang terhadap sumbu titik beratnya sendiri I = bh³/12, dan terhadap alasnya bh³/3 (teorema sumbu sejajar I = Ic + A·d²). Lubang diperhitungkan dengan mengurangkan I-nya, asalkan kedua bagian memakai sumbu yang sama. Modulus penampang elastis adalah S = I/c, dengan c jarak ke serat terluar. Jari-jari girasi r = √(I/A) adalah jarak tempat seluruh luas akan memberi I yang sama; besaran ini dipakai pada tekuk kolom.

Luas bersih dan momen inersia

b = 260 mm, h = 305 mm
A = BH − bh = 280·325 − 260·305 = 11700 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 1,862 × 10⁸ mm⁴

Jari-jari girasi

r = √(I/A) = √(1,862 × 10⁸/11700) = 126,2 mm

Jawaban

r = 126,2 mm
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 269,2 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (36000·150 − 800·180)/(36000 − 800) = 149,3 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

120·300³/12 + 36000·0,6818² = 270 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

40·20³/12 + 800·30,68² = 0,7798 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 269,2 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 269,2 × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σy′ = 95,5 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi untuk muka y′

σy′ = 75 − (−5)·0,342 − (−20)·0,9397 = 95,5 MPa

Periksa

Jumlah tegangan normal tidak berubah karena rotasi.

σx′ = 54,5 MPa, σx′ + σy′ = 150 = σx + σy

Jawaban

σy′ = 95,5 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σθ = −8,84 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

σθ = 25 + −85·0,5 + 10·0,866 = −8,84 MPa

Jawaban

σθ = −8,84 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 4,794 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 3000 mm
EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·3000⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 4,794 mm

Jawaban

δmax = 4,794 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 7,059 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 4000 N, w = 2 N/mm, L = 4000 mm, EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Setiap beban sendiri

δP = PL³/(48EI) = 4000·4000³/(48·1,7 × 10¹²) = 3,137 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·4000⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 3,922 mm

Jumlahkan

δmax = 3,137 + 3,922 = 7,059 mm

Jawaban

δmax = 7,059 mm
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 2,366 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·2000 = 4000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/4000² = 2366 N = 2,366 kN

Jawaban

Pcr = 2,366 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 75,81 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 2,5·80000 = 200000 N
KL = 2·2000 = 4000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·200000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 75,81 mm

Jawaban

d = 75,81 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 211,1, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials