Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari regangan aksial ε pada batang baja, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 70 kNd = 25 mmL = 0,5 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σ_max pada batang.

P = 105 kNsegmen 1: Ø35 mm, 1,5 m, tembaga (E = 117 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 2 m, tembaga (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsi porosSedang

Poros pejal kuningan dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 400 N·md = 25 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros aluminium pejal berdiameter 60 mm dijepit pada dinding kaku di kedua ujung A dan B. Torsi 200 N·m diberikan di C, 1,2 m dari A dan 3 m dari B. Cari torsi reaksi T_A di dinding A.

d = 60 mmT₀ = 200 N·ma = 1,2 mb = 3 m

T_A = N·m

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 10 mw = 5 kN/m dari 0 sampai 10 mx = 5 m

M_x = kN·m

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

35 kN @ 0 m25 kN @ 6 m40 kN @ 3 m12 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Titik berat & momen inersiaSedang

Profil I simetris memiliki sayap selebar 160 mm dan setebal 18 mm, tinggi total 440 mm, dan badan setebal 12 mm. Cari momen inersianya I_x terhadap sumbu titik berat horizontal x.

B = 160 mmH = 440 mmt_f = 18 mmt_w = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersiaSulit

Sebuah pelat 200 mm × 200 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 80 mm dan setinggi 30 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 60 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 200 mmh = 200 mmpotongan: 80 × 30 mmpusat lubang: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = −30 MPa, σᵧ = 90 MPa, dan τₓᵧ = 60 MPa, dengan σ_z = 0. Cari tegangan geser maksimum absolut τ_abs di titik itu (dengan meninjau semua bidang dalam tiga dimensi).

σ_x = −30 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 60 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = −30 MPa, σᵧ = 20 MPa, dan τₓᵧ = 40 MPa (σ_z = 0). Bahan memiliki kekuatan luluh 355 MPa. Cari faktor keamanan n terhadap luluh menurut kriteria von Mises (energi distorsi).

σ_x = −30 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 40 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

11.Lendutan balokSedang

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada a = 2,5 m dari tumpuan A. Cari lendutan δ_P di bawah beban.

P = 4 kNa = 2,5 mL = 8 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban merata w dan beban terpusat P di tengah bentang. Dengan superposisi, cari lendutan tengah δ_max.

P = 9 kNw = 4 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (baja)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

14.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Kolom harus menahan 5 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 5 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 713 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 70·1000/490,9 = 142,6 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for baja = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 142,6/200000 = 0,000713 = 713 µε

Jawaban

ε = 713 µε

2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ_max = 522,2 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 109,1 MPa

σ₂ = 522,2 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σ_max = 522,2 MPa

Jawaban

σ_max = 522,2 MPa

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 15,32 °

Momen inersia polar

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1000/(39000·38350) = 0,2674 rad

φ = 0,2674·180/π = 15,32°

Jawaban

φ = 15,32°

4.Torsi poros

Jawaban: T_A = 142,9 N·m

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω. Jika kedua ujung dijepit, statika saja hanya memberi T_A + T_B = T₀; persamaan kedua adalah kompatibilitas (puntiran kedua bagian sama di penampang yang dibebani).

Kesetimbangan dan kompatibilitas

T_A + T_B = 200

T_A·a = T_B·b

T_A = 200·3/4,2 = 142,9 N·m

T_B = 200·1,2/4,2 = 57,14 N·m

Jawaban

T_A = 142,9 N·m

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 62,5 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, bekerja di x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 5·10·5

R_B = 250/10 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 25 = 25 kN

Potong di x = 5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 25·5 − 5·5·2,5 = 62,5 kN·m

Jawaban

M_x = 62,5 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: E (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 61,33 kN, R₂ = 74,67 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = −35, M_C = −14,67, M_D = −6,333, M_E = −50 kN·m, M_F = −25, M_G = 0

Jawaban

Tanda E: M_E = −50 kN·m

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 322,5 × 10⁶ mm⁴

Momen inersia penampang: untuk persegi panjang terhadap sumbu titik beratnya sendiri I = bh³/12, dan terhadap alasnya bh³/3 (teorema sumbu sejajar I = I_c + A·d²). Lubang diperhitungkan dengan mengurangkan I-nya, asalkan kedua bagian memakai sumbu yang sama. Modulus penampang elastis adalah S = I/c, dengan c jarak ke serat terluar.

Persegi panjang luar dikurangi dua potongan samping

Kedua potongan bersama-sama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan memakai sumbu x yang sama.

h_w = 440 − 2·18 = 404 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (160·440³ − 148·404³)/12

I_x = 3,225 × 10⁸ mm⁴ = 322,5 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 322,5 × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 129,1 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki I_c = bh³/12 dan lingkaran I_c = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (40000·100 − 2400·60)/(40000 − 2400) = 102,6 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

200·200³/12 + 40000·−2,553² = 133,6 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

80·30³/12 + 2400·−42,55² = 4,526 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 129,1 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 129,1 × 10⁶ mm⁴

9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_abs = 84,85 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Dalam tiga dimensi, tegangan geser maksimum absolut adalah (σ_max − σ_min)/2 dari ketiga tegangan utama; pada tegangan bidang tegangan utama ketiga bernilai nol.

Tegangan utama sebidang

C = 30 MPa, R = √((−60)² + 60²) = 84,85 MPa

σ₁ = 114,9 MPa, σ₂ = −54,85 MPa, σ_z = 0

Lingkaran terbesar dari ketiganya

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(169,7, 114,9, 54,85)/2 = 84,85 MPa

Jawaban

τ_abs = 84,85 MPa

Di sini σ₁ dan σ₂ berlawanan tanda, jadi maksimum sebidang R juga merupakan maksimum absolut.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: n = 4,337

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σ_Y/2.

Tegangan utama

C = −5 MPa, R = 47,17 MPa

σ₁ = 42,17 MPa, σ₂ = −52,17 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(42,17² − 42,17·(−52,17) + (−52,17)²) = 81,85 MPa

n = 355/81,85 = 4,337

Jawaban

n = 4,337

n > 1 berarti titik tersebut tidak luluh; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

11.Lendutan balok

Jawaban: δ_P = 2,813 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 4000 N, a = 2500 mm, b = 5500 mm, L = 8000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Lendutan di bawah beban

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 4000·2500²·5500²/(3·1,12 × 10¹³·8000) = 2,813 mm

Jawaban

δ_P = 2,813 mm

12.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 23,48 mm

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 9000 N, w = 4 N/mm, L = 6000 mm, EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Setiap beban sendiri

δ_P = PL³/(48EI) = 9000·6000³/(48·4,6 × 10¹²) = 8,804 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·6000⁴/(384·4,6 × 10¹²) = 14,67 mm

Jumlahkan

δ_max = 8,804 + 14,67 = 23,48 mm

Jawaban

δ_max = 23,48 mm

13.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 32,75 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·26667/750² = 32752 N = 32,75 kN

Jawaban

P_cr = 32,75 kN

14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 31,04 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·5000 = 10000 N

KL = 1·3000 = 3000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·10000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 31,04 mm

Jawaban

d = 31,04 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 386,5, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials