Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 16 mmKuningan2 mP = 15 kN

Cari regangan aksial ε pada batang kuningan, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 15 kNd = 16 mmL = 2 mE = 100 GPa
ε = µε
2.Tegangan & regangan aksialSulit
80 kN12400 mm200 mmØ40Ø60σ2​ = ?

Sebuah segmen baja (diameter 40 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari aluminium (diameter 60 mm, panjang 200 mm, E = 70 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 80 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ2 pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø60 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 80 kN
σ2 = MPa
3.Torsi porosSedang
d = ?T = 2000 N·mL = 2 m

Poros aluminium pejal sepanjang 2 m menahan torsi 2000 N·m. Sudut puntir antara kedua ujungnya tidak boleh melebihi 1,5°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi batas ini.

T = 2000 N·mL = 2 mG = 26 GPaφallow = 1,5°
d = mm
4.Torsi porosSulit
d = 30 mmT0​ = 2000 N·mACBa = 0,5 mb = 1 m

Poros aluminium pejal berdiameter 30 mm dijepit pada dinding kaku di kedua ujung A dan B. Torsi 2000 N·m diberikan di C, 0,5 m dari A dan 1 m dari B. Cari torsi reaksi TA di dinding A.

d = 30 mmT0 = 2000 N·ma = 0,5 mb = 1 m
TA = N·m
5.Gaya geser & momen lenturSedang
w = 4 kN/mABpotongan1 m3 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 1 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 4 mw = 4 kN/m dari 0 sampai 4 mx = 1 m
Mx = kN·m
6.Gaya geser & momen lenturSulit
5 kN/m50 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

50 kN @ 6 m5 kN/m, 0–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Titik berat & momen inersiaSedang
200 mm300 mm90 mmØ40xIx​ = ?

Sebuah pelat 200 mm × 300 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 40 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 90 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 200 mmh = 300 mmd = 40 mmpusat lubang: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
200 mm240 mm168 mm80 × 30xIx​ = ?

Sebuah pelat 200 mm × 240 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 80 mm dan setinggi 30 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 168 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 200 mmh = 240 mmpotongan: 80 × 30 mmpusat lubang: y = 168 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = −60σy​ = −30τxy​ = 20MPa

Suatu titik memiliki σₓ = −60 MPa, σᵧ = −30 MPa, dan τₓᵧ = 20 MPa (tarik positif). Elemen diputar 20° searah jarum jam. Cari tegangan normal σy′ pada muka elemen yang diputar yang tegak lurus sumbu y′ yang diputar.

σx = −60 MPaσy = −30 MPaτxy = 20 MPaθ = -20°
σy′ = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = 40σy​ = −30τxy​ = 30MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 40 MPa, σᵧ = −30 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σθ pada bidang yang normalnya diputar 20° searah jarum jam dari sumbu x.

σx = 40 MPaσy = −30 MPaτxy = 30 MPaθ = -20°
σθ = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 10 kN/mδL = 3 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari lendutan maksimum δmax di tengah bentang.

w = 10 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 1,5 kN/mABδ4 m

Balok kayu sederhana berpenampang persegi panjang selebar 100 mm menahan beban merata w di seluruh bentang. Lendutan tengah bentangnya tidak boleh melebihi bentang/300. Cari tinggi terkecil hreq penampang.

w = 1,5 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (kayu struktural)b = 100 mm
hreq = mm
13.Tekuk kolomSedang
PL = 3 m50 × 100 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 3 mE = 200 GPa (baja)b × h = 50 × 100 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
P = 45 kNL = 1,5 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Kolom harus menahan 45 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 45 kNn = 3L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 746 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 15·1000/201,1 = 74,6 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for kuningan = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 74,6/100000 = 0,000746 = 746 µε

Jawaban

ε = 746 µε
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ2 = 17,31 MPa

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm
k₂ = 70000·2827/200 = 989602 N/mm

Bagian segmen 2

F2 = 80000·989602/1,618 × 10⁶ = 48932 N

Tegangan

σ2 = 48932/2827 = 17,31 MPa (tekan)

Jawaban

σ2 = 17,31 MPa
3.Torsi poros

Jawaban: d = 87,96 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar yang diperlukan

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
L = 2 m = 2000 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = 1,5·π/180 = 0,02618 rad
J = TL/(Gφ) = 2 × 10⁶·2000/(26000·0,02618) = 5,876 × 10⁶ mm⁴

Diameter

d = (32J/π)1/4 = 87,96 mm

Jawaban

d = 87,96 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

4.Torsi poros

Jawaban: TA = 1333 N·m

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω. Jika kedua ujung dijepit, statika saja hanya memberi TA + TB = T₀; persamaan kedua adalah kompatibilitas (puntiran kedua bagian sama di penampang yang dibebani).

Kesetimbangan dan kompatibilitas

TA + TB = 2000
TA·a = TB·b
TA = 2000·1/1,5 = 1333 N·m
TB = 2000·0,5/1,5 = 666,7 N·m

Jawaban

TA = 1333 N·m
5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 6 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, bekerja di x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 4·4·2
RB = 32/4 = 8 kN
ΣFy = 0: RA = 16 − 8 = 8 kN
w = 4 kN/mABRA​ = 8RB​ = 8potongan1 m3 m

Potong di x = 1 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 8·1 − 4·1·0,5 = 6 kN·m

Jawaban

Mx = 6 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: F (x = 5 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 2,5 kN, R2 = 72,5 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 0, MC = −5, MD = −15, ME = −30, MF = −50 kN·m, MG = 0

Jawaban

Tanda F: MF = −50 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 445,3 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (60000·150 − 1257·90)/(60000 − 1257) = 151,3 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

200·300³/12 + 60000·−1,284² = 450,1 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−61,28² = 4,845 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 445,3 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 445,3 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 224,4 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (48000·120 − 2400·168)/(48000 − 2400) = 117,5 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

200·240³/12 + 48000·2,526² = 230,7 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

80·30³/12 + 2400·50,53² = 6,307 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 224,4 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 224,4 × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σy′ = −20,65 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi untuk muka y′

σy′ = −45 − (−15)·0,766 − 20·(−0,6428) = −20,65 MPa

Periksa

Jumlah tegangan normal tidak berubah karena rotasi.

σx′ = −69,35 MPa, σx′ + σy′ = −90 = σx + σy

Jawaban

σy′ = −20,65 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σθ = 12,53 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

σθ = 5 + 35·0,766 + 30·−0,6428 = 12,53 MPa

Jawaban

σθ = 12,53 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 26,63 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 3000 mm
EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Lendutan

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·3000⁴/(384·3,96 × 10¹¹) = 26,63 mm

Jawaban

δmax = 26,63 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: hreq = 159,9 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

Batas lendutan

δallow = L/300 = 4000/300 = 13,33 mm

Momen inersia yang diperlukan

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1,5·4000⁴/(384·11000·13,33) = 3,409 × 10⁷ mm⁴

Tinggi yang diperlukan

bh³/12 = Ireq → h = (12·3,409 × 10⁷/100)1/3 = 159,9 mm

Jawaban

hreq = 159,9 mm

Dalam praktik, pilih tinggi standar berikutnya di atas nilai ini.

13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 466,3 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·1,042 × 10⁶/2100² = 466251 N = 466,3 kN

Jawaban

Pcr = 466,3 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 45,77 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 3·45000 = 135000 N
KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·135000·1050²/(π³·70000))^(1/4) = 45,77 mm

Jawaban

d = 45,77 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 91,76, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials