Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 40 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari tembaga (diameter 60 mm, panjang 500 mm, E = 120 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,2 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: tembaga, Ø60 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

2.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σ_max pada batang.

P = 105 kNsegmen 1: Ø35 mm, 0,5 m, kuningan (E = 100 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 1,5 m, tembaga (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsi porosSedang

Poros kuningan pejal bertingkat dijepit di A. Segmen AB berdiameter 50 mm dan panjang 2,5 m; segmen BC berdiameter 40 mm dan panjang 2,5 m. Torsi 400 N·m bekerja di ujung bebas C. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

T = 400 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 2,5 md₂ = 40 mm, L₂ = 2,5 m

τ_max = MPa

4.Torsi porosSulit

Poros berongga meneruskan 75 kW pada 750 rpm. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

P = 75 kWN = 750 rpmd_o = 50 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Cari gaya geser V_x pada potongan x = 7,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 8 mw = 10 kN/m dari 0 sampai 8 mx = 7,5 m

V_x = kN

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

10 kN @ 6 m10 kN @ 1 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Titik berat & momen inersiaSedang

Profil kanal diletakkan dengan sisi terbuka ke atas: pelat dasar selebar 260 mm dengan dua kaki tegak, setinggi total 80 mm. Dasar dan kaki semuanya setebal 20 mm. Cari momen inersianya I_x terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

b = 260 mmh = 80 mmt = 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersiaSulit

Sebuah pelat 200 mm × 200 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 50 mm dan setinggi 30 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 60 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 200 mmh = 200 mmpotongan: 50 × 30 mmpusat lubang: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 110 MPa, σᵧ = 100 MPa, dan τₓᵧ = −60 MPa, dengan σ_z = 0. Cari tegangan geser maksimum absolut τ_abs di titik itu (dengan meninjau semua bidang dalam tiga dimensi).

σ_x = 110 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −60 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Poros pejal berdiameter 25 mm menahan gaya tarik aksial sebesar 150 kN bersama torsi 250 N·m. Di permukaan poros, cari tegangan utama terbesar σ₁.

d = 25 mmF = 150 kNT = 250 N·m

σ₁ = MPa

11.Lendutan balokSedang

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari lendutan maksimum δ_max di tengah bentang.

w = 10 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (baja)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Lendutan balokSulit

Kantilever bertopang dijepit di A dan ditumpu sederhana (ditopang) di B. Balok menahan beban merata w di sepanjang batang. EI konstan. Cari reaksi R_B di topang.

L = 3 mw = 4 kN/m

R_B = kN

13.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (baja)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

14.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 57,75 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1,989 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·2827) = 1,474 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,2/3,463 × 10⁻⁶ = 57752 N = 57,75 kN

Jawaban

P = 57,75 kN

2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ_max = 334,2 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 109,1 MPa

σ₂ = 334,2 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σ_max = 334,2 MPa

Jawaban

σ_max = 334,2 MPa

3.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 31,83 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Tegangan pada tiap segmen

T = 400 N·m = 400000 N·mm

τ_AB = 16·400000/(π·50³) = 16,3 MPa

τ_BC = 16·400000/(π·40³) = 31,83 MPa

Jawaban

τ_max = 31,83 MPa

4.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 44,7 MPa

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 75000/78,54 = 954,9 N·m

Momen inersia polar

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

Tegangan geser maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 954930·25/534071 = 44,7 MPa

Jawaban

τ_max = 44,7 MPa

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: V_x = −35 kN

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, bekerja di x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·8·4

R_B = 320/8 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 40 = 40 kN

Potong di x = 7,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

V = R_A − (semua beban ke bawah di kiri potongan)

V_x = 40 − 10·7,5 = −35 kN

Jawaban

V_x = −35 kN

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: E (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 2,5 kN, R₂ = 17,5 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = 2,5, M_C = −5, M_D = −12,5, M_E = −20 kN·m, M_F = −10, M_G = 0

Jawaban

Tanda E: M_E = −20 kN·m

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 3,521 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi persegi panjang

Ambil dasar selebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), sehingga tidak ada yang terhitung dua kali.

basis: A₁ = 260·20 = 5200 mm², y₁ = 10 mm

dua kaki: A₂ = 2·20·60 = 2400 mm², y₂ = 20 + 60/2 = 50 mm

Titik berat

ȳ = (5200·10 + 2400·50)/7600 = 22,63 mm

Teorema sumbu sejajar

basis: 260·20³/12 + 5200·(10 − 22,63)² = 1,003 × 10⁶ mm⁴

dua kaki: 2·20·60³/12 + 2400·(50 − 22,63)² = 2,518 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,003 × 10⁶ + 2,518 × 10⁶

I_x = 3,521 × 10⁶ mm⁴ = 3,521 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 3,521 × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 130,7 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki I_c = bh³/12 dan lingkaran I_c = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (40000·100 − 1500·60)/(40000 − 1500) = 101,6 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

200·200³/12 + 40000·−1,558² = 133,4 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

50·30³/12 + 1500·−41,56² = 2,703 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 130,7 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 130,7 × 10⁶ mm⁴

9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_abs = 82,6 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Dalam tiga dimensi, tegangan geser maksimum absolut adalah (σ_max − σ_min)/2 dari ketiga tegangan utama; pada tegangan bidang tegangan utama ketiga bernilai nol.

Tegangan utama sebidang

C = 105 MPa, R = √(5² + (−60)²) = 60,21 MPa

σ₁ = 165,2 MPa, σ₂ = 44,79 MPa, σ_z = 0

Lingkaran terbesar dari ketiganya

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(120,4, 165,2, 44,79)/2 = 82,6 MPa

Jawaban

τ_abs = 82,6 MPa

Di sini lingkaran di luar bidang yang menentukan: maksimum absolutnya lebih besar daripada maksimum sebidang R.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ₁ = 325,9 MPa

Tegangan di permukaan

σ = F/A = 150000/(π·25²/4) = 150000/490,9 = 305,6 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·25³) = 81,49 MPa

Lingkaran Mohr

C = σ/2 = 152,8 MPa

R = √(152,8² + 81,49²) = 173,2 MPa

σ₁ = C + R = 325,9 MPa

σ₂ = C − R = −20,37 MPa

Jawaban

σ₁ = 325,9 MPa

11.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 5,273 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 6000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Lendutan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·6000⁴/(384·3,2 × 10¹³) = 5,273 mm

Jawaban

δ_max = 5,273 mm

12.Lendutan balok

Jawaban: R_B = 4,5 kN

Lepaskan topang

Tanpa topang, balok adalah kantilever. Ujung bebasnya akan melendut akibat beban.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Kompatibilitas di topang

Gaya topang R_B sendiri mengangkat ujung bebas sebesar R_BL³/(3EI). Topang menahan B pada lendutan nol, jadi keduanya harus saling meniadakan. EI saling menghapus.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·4·3/8 = 4,5 kN

Jawaban

R_B = 4,5 kN

13.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 65,57 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/1400² = 65567 N = 65,57 kN

Jawaban

P_cr = 65,57 kN

14.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 87,73 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·1500 = 3000 mm

KL/r = 3000/20 = 150

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/150² = 87,73 MPa

Jawaban

σ_cr = 87,73 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials