Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 20 mmAluminium0,5 mP = 95 kN

Cari regangan aksial ε pada batang aluminium, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 95 kNd = 20 mmL = 0,5 mE = 70 GPa
ε = µε
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 25 mmAluminium2 mØ 20 mmKuningan2 mP = 60 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 60 kNsegmen 1: Ø25 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 2 m, kuningan (E = 100 GPa)
δ = mm
3.Torsi porosSedang
T = 1000 N·md = 40 mmL = 2 mφ = ?

Poros pejal aluminium dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 1000 N·md = 40 mmL = 2 mG = 26 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
Td = ?

Poros pejal harus meneruskan 50 kW pada 1500 rpm tanpa tegangan geser melebihi 80 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 50 kWN = 1500 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
P1​ = 50 kNP2​ = 25 kNABC2,5 m2,5 m2 m

Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 2 m melewati B hingga ujung bebas C. Balok menahan beban terpusat P1 di antara tumpuan dan beban terpusat P2 di C. Cari momen lentur Mx di bawah beban P1. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 7 mP1 = 50 kN di 2,5 mP2 = 25 kN di 7 mtumpuan di x = 0 dan x = 5 m
Mx = kN·m
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 3 kN/mP = 15 kNAB2 m6 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang dan beban terpusat P. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.

L = 8 mP = 15 kN di 2 mw = 3 kN/m dari 0 sampai 8 m
Mmax = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
12070t = 12ȳ = ?dimensi dalam mm

Profil kanal diletakkan dengan sisi terbuka ke atas: pelat dasar selebar 120 mm dengan dua kaki tegak, setinggi total 70 mm. Dasar dan kaki semuanya setebal 12 mm. Cari tinggi ȳ titik berat di atas tepi bawah.

b = 120 mmh = 70 mmt = 12 mm
ȳ = mm
8.Titik berat & momen inersiaSulit
200 mm240 mm168 mm50 × 30xIx​ = ?

Sebuah pelat 200 mm × 240 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 50 mm dan setinggi 30 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 168 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 200 mmh = 240 mmpotongan: 50 × 30 mmpusat lubang: y = 168 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 100σy​ = 30τxy​ = 40MPa

Suatu titik memiliki σₓ = 100 MPa, σᵧ = 30 MPa, dan τₓᵧ = 40 MPa (tarik positif). Elemen diputar 25° berlawanan arah jarum jam. Cari tegangan normal σy′ pada muka elemen yang diputar yang tegak lurus sumbu y′ yang diputar.

σx = 100 MPaσy = 30 MPaτxy = 40 MPaθ = 25°
σy′ = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = 150σy​ = −70τxy​ = 10MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 150 MPa, σᵧ = −70 MPa, dan τₓᵧ = 10 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σθ pada bidang yang normalnya diputar 60° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σx = 150 MPaσy = −70 MPaτxy = 10 MPaθ = 60°
σθ = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 5 kN/mP = 30 kNABδ2 m

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P di ujung bebasnya. Dengan superposisi, cari lendutan δ di ujung bebas.

P = 30 kNw = 5 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (baja)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 2 kN/mABδ3,5 m

Balok kayu sederhana berpenampang persegi panjang selebar 100 mm menahan beban merata w di seluruh bentang. Lendutan tengah bentangnya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari tinggi terkecil hreq penampang.

w = 2 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (kayu struktural)b = 100 mm
hreq = mm
13.Tekuk kolomSedang
PL = 1,5 md = 40 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 1,5 md = 20 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 20 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 4320 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 95·1000/314,2 = 302,4 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 302,4/70000 = 0,00432 = 4320 µε

Jawaban

ε = 4320 µε
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 7,312 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 122,2 MPa
σ2 = 191 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ1 = σ1L1/E1 = 122,2·2000/70000 = 3,492 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 191·2000/100000 = 3,82 mm
δ = δ1 + δ2 = 7,312 mm

Jawaban

δ = 7,312 mm
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 17,54 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·2000/(26000·251327) = 0,3061 rad
φ = 0,3061·180/π = 17,54°

Jawaban

φ = 17,54°
4.Torsi poros

Jawaban: d = 27,26 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T = P/ω = 50000/157,1 = 318,3 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·318310/(π·80)) = 27,26 mm

Jawaban

d = 27,26 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 37,5 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok. Beban overstek juga memberi momen terhadap A.

ΣMA = 0: RB·5 = 50·2,5 + 25·7
RB = 300/5 = 60 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 60 = 15 kN

Potong di bawah P1 dan ambil bagian kiri

Mx = RA·2,5 = 15·2,5 = 37,5 kN·m

Jawaban

Mx = 37,5 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 41,34 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, bekerja di x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 15·2 + 3·8·4
RB = 126/8 = 15,75 kN
ΣFy = 0: RA = 39 − 15,75 = 23,25 kN

Di mana V = 0?

RA − P − w·x0 = 0 → x0 = (23,25 − 15)/3 = 2,75 m

Momen maksimum

Mmax = RA·x0 − P·(x0 − 2) − w·x0²/2 = 41,34 kN·m

Jawaban

Mmax = 41,34 kN·m

Terjadi di x = 2,75 m dari A.

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: ȳ = 23,2 mm

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi persegi panjang

Ambil dasar selebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), sehingga tidak ada yang terhitung dua kali.

basis: A1 = 120·12 = 1440 mm², y1 = 6 mm
dua kaki: A2 = 2·12·58 = 1392 mm², y2 = 12 + 58/2 = 41 mm

Titik berat

ȳ = (1440·6 + 1392·41)/2832 = 23,2 mm

Jawaban

ȳ = 23,2 mm
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 226,7 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (48000·120 − 1500·168)/(48000 − 1500) = 118,5 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

200·240³/12 + 48000·1,548² = 230,5 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

50·30³/12 + 1500·49,55² = 3,795 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 226,7 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 226,7 × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σy′ = 11,86 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi untuk muka y′

σy′ = 65 − 35·0,6428 − 40·0,766 = 11,86 MPa

Periksa

Jumlah tegangan normal tidak berubah karena rotasi.

σx′ = 118,1 MPa, σx′ + σy′ = 130 = σx + σy

Jawaban

σy′ = 11,86 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σθ = −6,34 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

σθ = 40 + 110·−0,5 + 10·0,866 = −6,34 MPa

Jawaban

σθ = −6,34 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δ = 5,357 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 30000 N, w = 5 N/mm, L = 2000 mm
EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Setiap beban sendiri

δP = PL³/(3EI) = 30000·2000³/(3·1,68 × 10¹³) = 4,762 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 5·2000⁴/(8·1,68 × 10¹³) = 0,5952 mm

Jumlahkan

δ = 4,762 + 0,5952 = 5,357 mm

Jawaban

δ = 5,357 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: hreq = 163,7 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Batas lendutan

δallow = L/360 = 3500/360 = 9,722 mm

Momen inersia yang diperlukan

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·3500⁴/(384·11000·9,722) = 3,654 × 10⁷ mm⁴

Tinggi yang diperlukan

bh³/12 = Ireq → h = (12·3,654 × 10⁷/100)1/3 = 163,7 mm

Jawaban

hreq = 163,7 mm

Dalam praktik, pilih tinggi standar berikutnya di atas nilai ini.

13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 78,75 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/1050² = 78746 N = 78,75 kN

Jawaban

Pcr = 78,75 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 15,67 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 314,2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm
KL = 0,7·1500 = 1050 mm
KL/r = 1050/5 = 210

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/210² = 15,67 MPa

Jawaban

σcr = 15,67 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials