Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari regangan aksial ε pada batang tembaga, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 55 kNd = 16 mmL = 0,5 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σ_max pada batang.

P = 105 kNsegmen 1: Ø30 mm, 1,5 m, baja (E = 200 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1 m, kuningan (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsi porosSedang

Poros kuningan berongga (diameter luar 40 mm, diameter dalam 30 mm, panjang 1 m) dijepit di satu ujung dan dipuntir oleh torsi 2000 N·m di ujung lainnya. Cari sudut puntir φ dalam derajat.

T = 2000 N·md_o = 40 mmd_i = 30 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros pejal harus meneruskan 75 kW pada 300 rpm tanpa tegangan geser melebihi 40 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 75 kWN = 300 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

15 kN @ 3 m6 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 2,5 m melewati B hingga ujung bebas C. Beban merata w bekerja di sepanjang A–C. Cari momen lentur positif maksimum M_max di antara tumpuan.

L = 8,5 mw = 5 kN/m dari 0 sampai 8,5 mtumpuan di x = 0 dan x = 6 m

M_max = kN·m

7.Titik berat & momen inersiaSedang

Sebuah pelat 120 mm × 200 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 60 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 70 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 120 mmh = 200 mmd = 60 mmpusat lubang: y = 70 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersiaSulit

Balok besi tuang memiliki penampang T seperti pada gambar, dengan sayap di atas. Tegangan izinnya 60 MPa untuk tarik dan 90 MPa untuk tekan. Cari momen lentur negatif terbesar M_allow yang dapat ditahan balok (nyatakan besarnya).

b_f = 160 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 260 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −40 MPa, σᵧ = 90 MPa, dan τₓᵧ = −10 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_p dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = −40 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_p = °

10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −10 MPa, σᵧ = 120 MPa, dan τₓᵧ = −10 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser τ_θ pada bidang yang normalnya diputar 30° searah jarum jam dari sumbu x (positif dengan arah yang sama seperti τₓᵧ).

σ_x = −10 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −10 MPaθ = -30°

τ_θ = MPa

11.Lendutan balokSedang

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari lendutan maksimum δ_max di tengah bentang.

w = 2 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Lendutan balokSulit

Kantilever bertopang dijepit di A dan ditumpu sederhana (ditopang) di B. Balok menahan beban terpusat P di tengah bentang. EI konstan. Cari reaksi R_B di topang.

L = 3 mP = 45 kN di 1,5 m

R_B = kN

13.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (baja)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

14.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Kolom harus menahan 45 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 45 kNn = 2L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 2338 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 55·1000/201,1 = 273,5 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for tembaga = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 273,5/117000 = 0,002338 = 2338 µε

Jawaban

ε = 2338 µε

2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ_max = 928,4 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 148,5 MPa

σ₂ = 928,4 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σ_max = 928,4 MPa

Jawaban

σ_max = 928,4 MPa

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 17,1 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π(40⁴ − 30⁴)/32 = 171806 mm⁴

Sudut puntir

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·1000/(39000·171806) = 0,2985 rad

φ = 0,2985·180/π = 17,1°

Jawaban

φ = 17,1°

4.Torsi poros

Jawaban: d = 67,24 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 75000/31,42 = 2387 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·2,387 × 10⁶/(π·40)) = 67,24 mm

Jawaban

d = 67,24 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: D (x = 3 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 25,5 kN, R₂ = 25,5 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = 22,5, M_C = 39, M_D = 49,5 kN·m, M_E = 39, M_F = 22,5, M_G = 0

Jawaban

Tanda D: M_D = 49,5 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_max = 15,37 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok, termasuk beban pada overstek.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 5·8,5 = 42,5 kN, bekerja di x̄ = 4,25 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 5·8,5·4,25

R_B = 180,6/6 = 30,1 kN

ΣF_y = 0: R_A = 42,5 − 30,1 = 12,4 kN

Gaya geser nol

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 12,4/5 = 2,479 m

Momen positif maksimum

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 12,4²/(2·5) = 15,37 kN·m

Jawaban

M_max = 15,37 kN·m

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 76,48 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki I_c = bh³/12 dan lingkaran I_c = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (24000·100 − 2827·70)/(24000 − 2827) = 104 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

120·200³/12 + 24000·−4,006² = 80,39 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−34,01² = 3,906 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 76,48 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 76,48 × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: M_allow = 32,37 kN·m

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Titik berat

ȳ = (4000·272,5 + 4680·130)/8680 = 195,7 mm

tepi atas: c = 285 − 195,7 = 89,33 mm

Momen inersia penampang

I = 160·25³/12 + 4000·76,83² + 18·260³/12 + 4680·65,67² = 7,037 × 10⁷ mm⁴

Momen yang diizinkan tiap tepi

Momen negatif: sisi atas tertarik, sisi bawah tertekan.

tepi atas: M = 60·7,037 × 10⁷/89,33 = 47,26 kN·m

tepi bawah: M = 90·7,037 × 10⁷/195,7 = 32,37 kN·m

Nilai yang menentukan

M_allow = min = 32,37 kN·m (tepi bawah)

Jawaban

M_allow = 32,37 kN·m

9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_p = −85,63 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−10, −40 − 90) = −171,3°

Sudut pada elemen

θ_p = −85,63°

Jawaban

θ_p = −85,63°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_θ = −61,29 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −−65·−0,866 + −10·0,5 = −61,29 MPa

Jawaban

τ_θ = −61,29 MPa

11.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 9,524 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 8000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Lendutan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·8000⁴/(384·1,12 × 10¹³) = 9,524 mm

Jawaban

δ_max = 9,524 mm

12.Lendutan balok

Jawaban: R_B = 14,06 kN

Lepaskan topang

Tanpa topang, balok adalah kantilever. Ujung bebasnya akan melendut akibat beban.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Kompatibilitas di topang

Gaya topang R_B sendiri mengangkat ujung bebas sebesar R_BL³/(3EI). Topang menahan B pada lendutan nol, jadi keduanya harus saling meniadakan. EI saling menghapus.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·45/16 = 14,06 kN

Jawaban

R_B = 14,06 kN

13.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 16,65 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·4000 = 4000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/4000² = 16655 N = 16,65 kN

Jawaban

P_cr = 16,65 kN

14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 63,82 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·45000 = 90000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 63,82 mm

Jawaban

d = 63,82 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 156,7, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials