Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 20 mmKuningan1,5 mP = 80 kN

Cari pertambahan panjang δ batang kuningan akibat beban aksial.

P = 80 kNd = 20 mmL = 1,5 mE = 100 GPa
δ = mm
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 40 mmKuningan1,5 mØ 12 mmKuningan1 mP = 45 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 45 kNsegmen 1: Ø40 mm, 1,5 m, kuningan (E = 100 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1 m, kuningan (E = 100 GPa)
δ = mm
3.Torsi porosSedang
d = 15 mmT = 50 N·m200 mmφ = 4,43°

Dalam uji torsi, spesimen pejal berdiameter 15 mm dipuntir oleh torsi 50 N·m. Kedua ujung panjang ukur 200 mm berputar 4,43° relatif satu sama lain (bahan masih elastis). Cari modulus geser G bahan.

T = 50 N·md = 15 mmL = 200 mmφ = 4,43°
G = GPa
4.Torsi porosSulit
Td = ?

Poros pejal harus meneruskan 75 kW pada 1450 rpm tanpa tegangan geser melebihi 40 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 75 kWN = 1450 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
60 kN45 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

60 kN @ 6 m45 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 6 kN/mP = 10 kNABpotongan3 m1 m1 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 3 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 5 mP = 10 kN di 4 mw = 6 kN/m dari 0 sampai 5 mx = 3 m
Mx = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
2601026016xdimensi dalam mm

Cari momen inersia Ix penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

bf = 260 mmtf = 10 mmtw = 16 mmhw = 260 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
120440106xM = 50 kN·mdimensi dalam mm

Profil I simetris memiliki sayap selebar 120 mm dan setebal 10 mm, tinggi total 440 mm, dan badan setebal 6 mm. Penampang menahan momen lentur sebesar 50 kN·m terhadap sumbu x. Cari besar tegangan lentur maksimum σmax pada penampang.

B = 120 mmH = 440 mmtf = 10 mmtw = 6 mmM = 50 kN·m
σmax = MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = −70σy​ = 110τxy​ = 60MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −70 MPa, σᵧ = 110 MPa, dan τₓᵧ = 60 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τmax.

σx = −70 MPaσy = 110 MPaτxy = 60 MPa
τmax = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​τxy​permukaan atas poros

Poros pejal berdiameter 40 mm menahan momen lentur sebesar 750 N·m bersama torsi 750 N·m. Di permukaan atas, tempat tegangan lentur bersifat tarik dan paling besar, cari tegangan geser sebidang maksimum τmax.

d = 40 mmM = 750 N·mT = 750 N·m
τmax = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 15 kN/mABθ8 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari kemiringan θA balok di tumpuan A, dalam radian.

w = 15 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (baja)I = 120 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.Lendutan balokSulit
w = 3 kN/mABδ4,5 m

Balok kayu sederhana berpenampang persegi panjang selebar 100 mm menahan beban merata w di seluruh bentang. Lendutan tengah bentangnya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari tinggi terkecil hreq penampang.

w = 3 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (kayu struktural)b = 100 mm
hreq = mm
13.Tekuk kolomSedang
PL = 2,5 m25 × 80 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 80 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
P = 85 kNL = 5 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Kolom harus menahan 85 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 85 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 3,82 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 80·1000/314,2 = 254,6 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for kuningan = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 254,6/100000 = 0,002546 = 2546 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,002546·1500 mm = 3,82 mm

Jawaban

δ = 3,82 mm
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 4,516 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 35,81 MPa
σ2 = 397,9 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ1 = σ1L1/E1 = 35,81·1500/100000 = 0,5371 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 397,9·1000/100000 = 3,979 mm
δ = δ1 + δ2 = 4,516 mm

Jawaban

δ = 4,516 mm
3.Torsi poros

Jawaban: G = 26,02 GPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar dan sudut

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴
φ = 4,43·π/180 = 0,07732 rad

Modulus geser

T = 50 N·m = 50000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 50000·200/(4970·0,07732) = 26023 MPa
G = 26,02 GPa

Jawaban

G = 26,02 GPa

Bandingkan: baja ≈ 80 GPa, kuningan ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsi poros

Jawaban: d = 39,77 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 75000/151,8 = 493,9 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·493929/(π·40)) = 39,77 mm

Jawaban

d = 39,77 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: D (x = 6 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 60 kN, R2 = 45 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 120, MC = 240, MD = 270 kN·m, ME = 180, MF = 90, MG = 0

Jawaban

Tanda D: MD = 270 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 24 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 10·4 + 6·5·2,5
RB = 115/5 = 23 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 23 = 17 kN
w = 6 kN/mP = 10 kNABRA​ = 17RB​ = 23potongan3 m1 m1 m

Potong di x = 3 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 17·3 − 6·3·1,5 = 24 kN·m

Jawaban

Mx = 24 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 52,62 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 260·10 = 2600 mm², yf = 260 + 10/2 = 265 mm
badan: Aw = 16·260 = 4160 mm², yw = 260/2 = 130 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2600·265 + 4160·130)/6760 = 181,9 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 260·10³/12 + 2600·(265 − 181,9)² = 1,797 × 10⁷ mm⁴
badan: 16·260³/12 + 4160·(130 − 181,9)² = 3,465 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,797 × 10⁷ + 3,465 × 10⁷ = 5,262 × 10⁷ mm⁴ = 52,62 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 52,62 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σmax = 74,32 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Persegi panjang luar dikurangi dua potongan samping

Kedua potongan bersama-sama selebar (B − tw) dan setinggi hw = H − 2tf, dan memakai sumbu x yang sama.

hw = 440 − 2·10 = 420 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (120·440³ − 114·420³)/12
Ix = 1,48 × 10⁸ mm⁴

Tegangan lentur

y = 220 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁷·220/1,48 × 10⁸ = 74,32 MPa

Jawaban

σmax = 74,32 MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τmax = 108,2 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCτmax​

Jari-jari lingkaran Mohr

τmax = R = √(((−70 − 110)/2)² + 60²) = 108,2 MPa

Jawaban

τmax = 108,2 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τmax = 84,4 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Tegangan di permukaan

σ = 32M/(πd³) = 32·750000/(π·40³) = 119,4 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·40³) = 59,68 MPa
στxyCτmax​

Lingkaran Mohr

C = σ/2 = 59,68 MPa
R = √(59,68² + 59,68²) = 84,4 MPa

Jawaban

τmax = 84,4 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: θA = 0,01333 rad

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi). Kemiringan θ = dv/dx adalah integral pertama dari M/(EI); dengan satuan yang konsisten hasilnya dalam radian.

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 8000 mm
EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Kemiringan ujung

θA = wL³/(24EI) = 15·8000³/(24·2,4 × 10¹³) = 0,01333 rad

Jawaban

θA = 0,01333 rad

Itu sama dengan 0,7639°.

12.Lendutan balok

Jawaban: hreq = 240,9 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Batas lendutan

δallow = L/360 = 4500/360 = 12,5 mm

Momen inersia yang diperlukan

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·3·4500⁴/(384·11000·12,5) = 1,165 × 10⁸ mm⁴

Tinggi yang diperlukan

bh³/12 = Ireq → h = (12·1,165 × 10⁸/100)1/3 = 240,9 mm

Jawaban

hreq = 240,9 mm

Dalam praktik, pilih tinggi standar berikutnya di atas nilai ini.

13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 46,06 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/1250² = 46058 N = 46,06 kN

Jawaban

Pcr = 46,06 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 82,8 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 3·85000 = 255000 N
KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·255000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 82,8 mm

Jawaban

d = 82,8 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 120,8, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials