Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari pertambahan panjang δ batang aluminium akibat beban aksial.

P = 105 kNd = 25 mmL = 1 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah batang baja (diameter 25 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 120 MPa) berada di dalam tabung dari perunggu (diameter luar 120 mm, diameter dalam 60 mm, E = 110 GPa, tegangan izin 70 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar P_max.

batang: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPatabung: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.Torsi porosSedang

Poros pejal aluminium dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 250 N·md = 40 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros kuningan pejal berdiameter 60 mm dijepit di A. Torsi 2000 N·m bekerja di B, 0,8 m dari A, dan torsi 250 N·m dengan arah berlawanan bekerja di ujung bebas C, 1,2 m lebih jauh. Cari besar sudut puntir φ_C ujung C, dalam derajat.

d = 60 mmT_B = 2000 N·mT_C = 250 N·mAB = 0,8 mBC = 1,2 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

50 kN @ 3 m15 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

20 kN @ 0 m55 kN @ 12 m45 kN @ 8 m5 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Titik berat & momen inersiaSedang

Sebuah pelat 100 mm × 240 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 50 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 168 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 100 mmh = 240 mmd = 50 mmpusat lubang: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersiaSulit

Profil I las memiliki sayap atas 100 × 10 mm, badan setinggi 320 mm dan setebal 10 mm, dan sayap bawah 240 × 16 mm (lebar × tebal). Cari momen inersianya I_x terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

sayap atas: 100 × 10 mmbadan: 10 × 320 mmsayap bawah: 240 × 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = −10 MPa, σᵧ = −40 MPa, dan τₓᵧ = 60 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dan 90°, dari sumbu x ke normal bidang tempat tegangan geser mencapai nilai positif maksimumnya +R (geser positif searah dengan τₓᵧ).

σ_x = −10 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_s = °

10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 140 MPa, σᵧ = 110 MPa, dan τₓᵧ = 60 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser τ_θ pada bidang yang normalnya diputar 15° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x (positif dengan arah yang sama seperti τₓᵧ).

σ_x = 140 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 15°

τ_θ = MPa

11.Lendutan balokSedang

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari kemiringan θ_A balok di tumpuan A, dalam radian.

w = 2 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 36 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Lendutan balokSulit

Balok kayu sederhana berpenampang persegi panjang selebar 75 mm menahan beban merata w di seluruh bentang. Lendutan tengah bentangnya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari tinggi terkecil h_req penampang.

w = 2,5 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (kayu struktural)b = 75 mm

h_req = mm

13.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (baja)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

14.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 3,056 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 105·1000/490,9 = 213,9 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 213,9/70000 = 0,003056 = 3056 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,003056·1000 mm = 3,056 mm

Jawaban

δ = 3,056 mm

2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P_max = 618,7 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·8482 = 1,031 × 10⁹ N

Regangan penentu

ε = min(0,0006, 0,0006364) = 0,0006 (baja)

Beban terbesar

P_max = 0,0006·1,031 × 10⁹ = 618737 N = 618,7 kN

Jawaban

P_max = 618,7 kN

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 1,754 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 250·1000·800/(26000·251327) = 0,03061 rad

φ = 0,03061·180/π = 1,754°

Jawaban

φ = 1,754°

4.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 1,27 °

Torsi dalam

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C − T_B = 250 − 2000 = −1750 N·m

Puntiran tiap segmen

J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = −1,75 × 10⁶·800/(39000·1,272 × 10⁶) = −0,02821 rad

φ_BC = 250000·1200/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,006046 rad

Puntiran ujung C

φ_C = −0,02821 + 0,006046 = −0,02217 rad → |φ_C| = 1,27°

Jawaban

φ_C = 1,27°

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: D (x = 3 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 70 kN, R₂ = 70 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = 62,5, M_C = 110, M_D = 142,5 kN·m, M_E = 110, M_F = 62,5, M_G = 0

Jawaban

Tanda D: M_D = 142,5 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: F (x = 10 m)

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 42,5 kN, R₂ = 117,5 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = −40, M_C = −5, M_D = 10, M_E = 5, M_F = −110 kN·m, M_G = 0

Jawaban

Tanda F: M_F = −110 kN·m

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 110 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki I_c = bh³/12 dan lingkaran I_c = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (24000·120 − 1963·168)/(24000 − 1963) = 115,7 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

100·240³/12 + 24000·4,277² = 115,6 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·50⁴/64 + 1963·52,28² = 5,673 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 110 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 110 × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 134,3 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi tiga persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap atas: A = 1000 mm², y = 341 mm

badan: A = 3200 mm², y = 176 mm

sayap bawah: A = 3840 mm², y = 8 mm

Titik berat

ȳ = (1000·341 + 3200·176 + 3840·8)/8040 = 116,3 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap atas: 100·10³/12 + 1000·224,7² = 5,051 × 10⁷ mm⁴

badan: 10·320³/12 + 3200·59,72² = 3,872 × 10⁷ mm⁴

sayap bawah: 240·16³/12 + 3840·108,3² = 4,511 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,051 × 10⁷ + 3,872 × 10⁷ + 4,511 × 10⁷

I_x = 1,343 × 10⁸ mm⁴ = 134,3 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 134,3 × 10⁶ mm⁴

9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_s = −7,018 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Sudut pada lingkaran

Pada lingkaran Mohr titik puncak (+R) berjarak 90° dari titik utama σ₁; pada elemen itu sama dengan 45°.

cos 2θ_s = 60/61,85 = 0,9701, sin 2θ_s = −15/61,85 = −0,2425

2θ_s = atan2(−15, 60) = −14,04°

Sudut pada elemen

θ_s = −7,018°

periksa: θ_s − θ_p = −7,018 − 37,98 = −45°

Jawaban

θ_s = −7,018°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_θ = 44,46 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −15·0,5 + 60·0,866 = 44,46 MPa

Jawaban

τ_θ = 44,46 MPa

11.Lendutan balok

Jawaban: θ_A = 0,01347 rad

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi). Kemiringan θ = dv/dx adalah integral pertama dari M/(EI); dengan satuan yang konsisten hasilnya dalam radian.

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4000 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Kemiringan ujung

θ_A = wL³/(24EI) = 2·4000³/(24·3,96 × 10¹¹) = 0,01347 rad

Jawaban

θ_A = 0,01347 rad

Itu sama dengan 0,7717°.

12.Lendutan balok

Jawaban: h_req = 277,2 mm

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Batas lendutan

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Momen inersia yang diperlukan

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·5000⁴/(384·11000·13,89) = 1,332 × 10⁸ mm⁴

Tinggi yang diperlukan

bh³/12 = I_req → h = (12·1,332 × 10⁸/75)^1/3 = 277,2 mm

Jawaban

h_req = 277,2 mm

Dalam praktik, pilih tinggi standar berikutnya di atas nilai ini.

13.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 11,42 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·6000 = 12000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/12000² = 11423 N = 11,42 kN

Jawaban

P_cr = 11,42 kN

14.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 26,99 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/12,5 = 160

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/160² = 26,99 MPa

Jawaban

σ_cr = 26,99 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials