Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 12 mmAluminium2,5 mP = 105 kN

Cari pertambahan panjang δ batang aluminium akibat beban aksial.

P = 105 kNd = 12 mmL = 2,5 mE = 70 GPa
δ = mm
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 25 mmTembaga2 mØ 12 mmTembaga1 mP = 40 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σmax pada batang.

P = 40 kNsegmen 1: Ø25 mm, 2 m, tembaga (E = 117 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1 m, tembaga (E = 117 GPa)
σmax = MPa
3.Torsi porosSedang
T = 250 N·md = 20 mmL = 1 mφ = ?

Poros pejal baja dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 250 N·md = 20 mmL = 1 mG = 80 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
Tdo​ = 60 mm, di​ = 45 mm

Poros berongga meneruskan 100 kW pada 1450 rpm. Cari tegangan geser maksimum τmax pada poros.

P = 100 kWN = 1450 rpmdo = 60 mmdi = 45 mm
τmax = MPa
5.Gaya geser & momen lenturSedang
P1​ = 30 kNP2​ = 75 kNAB1 m2 m1 m

Balok sederhana menahan dua beban terpusat. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.

L = 4 mP1 = 30 kN di 1 mP2 = 75 kN di 3 m
Mmax = kN·m
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 6 kN/mAB1 m3 m

Balok sederhana menahan beban merata pada sebagian bentangnya. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.

L = 4 mw = 6 kN/m dari 1 sampai 4 m
Mmax = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
1002514016xdimensi dalam mm

Cari momen inersia Ix penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

bf = 100 mmtf = 25 mmtw = 16 mmhw = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
120 mm300 mm210 mm60 × 50xIx​ = ?

Sebuah pelat 120 mm × 300 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 60 mm dan setinggi 50 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 210 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 120 mmh = 300 mmpotongan: 60 × 50 mmpusat lubang: y = 210 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 60σy​ = 110τxy​ = 30MPa

Suatu titik memiliki σₓ = 60 MPa, σᵧ = 110 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (tarik positif). Elemen diputar 20° searah jarum jam. Cari tegangan normal σy′ pada muka elemen yang diputar yang tegak lurus sumbu y′ yang diputar.

σx = 60 MPaσy = 110 MPaτxy = 30 MPaθ = -20°
σy′ = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
40°D = 600 mm, t = 5 mm, p = 0,8 MPap

Tangki silinder berdinding tipis dengan diameter dalam 600 mm dan tebal dinding 5 mm berisi gas bertekanan gauge 0,8 MPa. Tangki dibuat dari pelat yang dilas sepanjang kampuh heliks bersudut 40° terhadap sumbu silinder. Cari tegangan normal σn yang bekerja tegak lurus kampuh las.

D = 600 mmt = 5 mmp = 0,8 MPaα = 40°
σn = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 2 kN/mδL = 4 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari lendutan maksimum δmax di tengah bentang.

w = 2 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 8 kN/mAB4 m

Kantilever bertopang dijepit di A dan ditumpu sederhana (ditopang) di B. Balok menahan beban merata w di sepanjang batang. EI konstan. Cari reaksi RB di topang.

L = 4 mw = 8 kN/m
RB = kN
13.Tekuk kolomSedang
PL = 4 md = 50 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 2,5 md = 60 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 33,16 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ = P/A = 105·1000/113,1 = 928,4 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 928,4/70000 = 0,01326 = 13263 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,01326·2500 mm = 33,16 mm

Jawaban

δ = 33,16 mm
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σmax = 353,7 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 81,49 MPa
σ2 = 353,7 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σmax = 353,7 MPa

Jawaban

σmax = 353,7 MPa
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 11,4 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1000/(80000·15708) = 0,1989 rad
φ = 0,1989·180/π = 11,4°

Jawaban

φ = 11,4°
4.Torsi poros

Jawaban: τmax = 22,72 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 100000/151,8 = 658,6 N·m

Momen inersia polar

J = π(60⁴ − 45⁴)/32 = 869767 mm⁴

Tegangan geser maksimum

τmax = T·(do/2)/J = 658572·30/869767 = 22,72 MPa

Jawaban

τmax = 22,72 MPa
5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 63,75 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

ΣMA = 0: RB·4 = 30·1 + 75·3
RB = 255/4 = 63,75 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 63,75 = 41,25 kN

Momen di bawah tiap beban

Ambil bagian di kiri tiap beban.

di bawah P1: M = RA·1 = 41,25·1 = 41,25 kN·m
di bawah P2: M = RB·1 = 63,75·1 = 63,75 kN·m

Nilai terbesar

Mmax = 63,75 kN·m (di bawah P2)

Jawaban

Mmax = 63,75 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 10,55 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 6·3 = 18 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 6·3·2,5
RB = 45/4 = 11,25 kN
ΣFy = 0: RA = 18 − 11,25 = 6,75 kN

Gaya geser nol

Gaya geser mulai dari RA, tetap konstan di bagian yang tidak dibebani, dan turun dengan kemiringan w di dalam beban.

RA − w·(x0 − 1) = 0
x0 = 1 + 6,75/6 = 2,125 m

Momen maksimum

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 1)²/2 = 6,75·2,125 − 6·1,125²/2 = 10,55 kN·m

Jawaban

Mmax = 10,55 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 11,83 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 100·25 = 2500 mm², yf = 140 + 25/2 = 152,5 mm
badan: Aw = 16·140 = 2240 mm², yw = 140/2 = 70 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2500·152,5 + 2240·70)/4740 = 113,5 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 100·25³/12 + 2500·(152,5 − 113,5)² = 3,93 × 10⁶ mm⁴
badan: 16·140³/12 + 2240·(70 − 113,5)² = 7,9 × 10⁶ mm⁴
Ix = 3,93 × 10⁶ + 7,9 × 10⁶ = 1,183 × 10⁷ mm⁴ = 11,83 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 11,83 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 257,6 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (36000·150 − 3000·210)/(36000 − 3000) = 144,5 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

120·300³/12 + 36000·5,455² = 271,1 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

60·50³/12 + 3000·65,45² = 13,48 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 257,6 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 257,6 × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σy′ = 123,4 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi untuk muka y′

σy′ = 85 − (−25)·0,766 − 30·(−0,6428) = 123,4 MPa

Periksa

Jumlah tegangan normal tidak berubah karena rotasi.

σx′ = 46,57 MPa, σx′ + σy′ = 170 = σx + σy

Jawaban

σy′ = 123,4 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σn = 38,08 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Silinder berdinding tipis: tegangan keliling σh = pr/t dan tegangan aksial σa = pr/(2t); keduanya adalah tegangan utama pada dinding.

Tegangan dinding

r = 600/2 = 300 mm
σh = pr/t = 0,8·300/5 = 48 MPa
σa = pr/(2t) = 24 MPa

Transformasikan ke kampuh

Ambil x sepanjang sumbu (σa) dan y mengelilingi keliling (σh). Normal kampuh membentuk 90° − α dengan sumbu.

σn = 24·sin²40° + 48·cos²40° = 38,08 MPa

Jawaban

σn = 38,08 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 3,788 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·4000⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 3,788 mm

Jawaban

δmax = 3,788 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: RB = 12 kN

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi). Untuk balok statis tak tentu, lepaskan satu tumpuan kelebihan dan syaratkan lendutan di sana nol (kompatibilitas).

Lepaskan topang

Tanpa topang, balok adalah kantilever. Ujung bebasnya akan melendut akibat beban.

δload = wL⁴/(8EI)

Kompatibilitas di topang

Gaya topang RB sendiri mengangkat ujung bebas sebesar RBL³/(3EI). Topang menahan B pada lendutan nol, jadi keduanya harus saling meniadakan. EI saling menghapus.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·8·4/8 = 12 kN

Jawaban

RB = 12 kN
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 52,99 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/2000² = 52989 N = 52,99 kN

Jawaban

Pcr = 52,99 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 50,76 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 0,7·2500 = 1750 mm
KL/r = 1750/15 = 116,7

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/116,7² = 50,76 MPa

Jawaban

σcr = 50,76 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials